1、【递归的概念】

（1）直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数

（2）边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。

（3）并非一切递归函数都能用非递归方式定义

当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。Ackerman函数就是一个双递归函数。

本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。

（4）递归小结

【优点】：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

【缺点】：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

【解决方法】：在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。
       1）采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
       2）用递推来实现递归函数。
       3）通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。
       4）后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。

2、分治法

      （1） 分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

      （2）分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
               1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
               2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
               3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
               4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 

      【注】：4）这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。

     （3）算法设计模式

divide-and-conquer(P)
  {
    if ( | P | <= n0) adhoc(P);   //解决小规模的问题
    divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk；//分解问题
    for (i=1,i<=k,i++)
      yi=divide-and-conquer(Pi);  //递归的解各子问题
    return merge(y1,...,yk);  //将各子问题的解合并为原问题的解
  }

       从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，
最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

     （4）分治法的复杂性分析