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Pow(x,n)

1、分析

函数原型 double pow(double x, int n) ，实现求x的n次方


有一点需要注意：
int 类型范围 -2147483648~2147483647
当n=-2147483648，则-n=2147483648超出2147483647，结果-n仍然是-2147483648，所以这个情况应该单独处理。

也可以用机器码来解释这一个知识点：-2147483648的机器码为1000…0000（32位），实现取负：即机器码各位取反最后加1，得到的还是100….000。

这也是第下面代码中 if(n<0 && n!=INT_MIN) return 1.0/pow(x,-n) 为什么这样写的原因，如果写成if(n<0) return 1.0/pow(x,-n) 则会造成死循环

2、正解代码

分治法

<span style="font-size:18px;">double pow(double x, int n) {
        if(n<0 && n!=INT_MIN) return 1.0/pow(x,-n);
        else if(n==INT_MIN) {double val=pow(x,-(n/2)); return 1.0/val*val;}
        else if(n==0) return 1.0;
        else if(n%2==1) {double val=pow(x,(n-1)/2);return x*val*val;  }
        else {double val=pow(x,n/2);return val*val;} 
    }</span>

3、误解代码

下面的代码超时，因为：
pow(x,n/2)*pow(x,n/2)实际上计算了两次pow(x,n/2)，但是正确的算法应该是计算出pow(x,n/2)后，赋给val，然后val*val，只计算一次pow(x,n/2)。下面的程序每一处都是pow()*pow()，这样一来跟x*x*x*x….一个一个乘没什么不同。

<span style="font-size:18px;">double pow(double x, int n) {
        if(n<0 && n!=INT_MIN) return 1.0/pow(x,-n);
        else if(n==INT_MIN) return 1.0/(pow(x,-(n/2))*pow(x,-(n/2)));
        else if(n==0) return 1.0;
        else if(n%2==1) return x*pow(x,(n-1)/2)*pow(x,(n-1)/2);  
        else return pow(x,n/2)*pow(x,n/2); </span>   

Sqrt(x)

1、分析

函数原型 int sqrt(int x)，实现求x的平方根。
几点注意：
#1 math头文件里的是double sqrt(double)等三种版本，leetcode上要实现的是int sqrt(int x)，还是不同的

#2 int sqrt(int x)结果是向下取整的，比如sqrt(10)等于3，故我们要寻找的是1~x中最后一个满足val*val<x的那个数 

#3 用二分查找法（先参见下面代码）
取1～x的中点mid，若mid*mid>x,那么根应该在1~mid-1之间，如果mid*mid<x，那么根应该在mid+1~x之间，若mid*mid==x则直接输出mid；
当然，在果mid*mid<x的情况下，根可能就是mid，但是我们仍然假设根在mid+1~x之间，程序运行下去会发现，mid+1~x的所有数的平方都大于x，最后while退出时first、last都等于mid+1，故while退出要处理，这就是if语句的一个作用

#4 考虑溢出问题
因为mid为int类型，所以mid*mid是有可能溢出的，应该声明为long long类型。

如果限定只能用int类型，那么可以将mid*mid<x 写成 mid<x/mid ，这样肯定不会溢出

2、代码

分治法，二分查找

class Solution {
public:
    int sqrt(int x) {  //x不会小于0
        if(x==0) return 0;
        long long int first=1,last=x;
        while(first<last){
            long long int mid=(first+last)/2;  
            if(mid*mid<x) first=mid+1;     //long long类型与int类型比较，int被暂时当作long long？
            else if(mid*mid>x) last=mid-1;
            else return mid;
        }
        if(first*first>x) return first-1;
        else return first;
        
    }
};