在轨迹规划中，有一个类别是多项式轨迹规划：抛物线、三次多项式、五次多项式、七次多项式、N次多项式。在这篇中，我们去掉最低，去掉最高，主要讲三次多项式和五次多项式这两种。
此处多项式轨迹规划中，建立的函数关系式是：关节转动的角度和时间之间的函数关系式。

三次多项式

函数关系式为：

两点之间，一段轨迹规划的起始时间是t0，结束时间是t1。

多项式中四个常量参数的计算公式为：

该公式中，q0是起始点关节角度，v0是起始点的关节角速度，T=t1-t0，h=q1-q0（q1是结束点的关节角度，q0是开始点的关节角度）

在使用以上公式进行轨迹规划时，有如下几个关键点：

1. 起始和结束关节角度、速度、加速度已知。
2. 需要对两点之间的轨迹进行插值，插值的方法，一般使用等时间间距的插值。
3. 计算各个时间点的关节角度、关节速度、关节加速度。
4. 关节角度的计算，使用三次多项式的函数关系式求解；关节速度，使用三次多项式的函数关系式的一次导数求解；关节加速度，使用三次多项式的函数关系式的二次导数求解。

针对两点之间的关节角度的三次多项式轨迹规划，使用matlab代码生成的关节角度、关节速度、关节加速度曲线如下所示：

此处，q0=0,q1=10;t0=0,t1=8;v0=v1=0

针对多点之间的关节角度的三次多项式轨迹规划，使用matlab代码生成的关节角度、关节速度、关节加速度曲线如下所示：

q0=10, q1=20, q2=0, q3=30, q4=40; t0=0, t1=2, t2=4, t3=8, t4=10; v0=0, v1=-10, v2=10, v3=3, v4=0

从以上曲线可以看出，三次多项式中，位移、速度是连续的，加速度是不连续的，具体参见加速度曲线中t=2,t=4,t=8处加速度的跳变。

五次多项式

函数关系式为：

两点之间，一段轨迹规划的起始时间是t0，结束时间是t1。

多项式中六个常量参数的计算公式为：

该公式中，q0是起始点关节角度，v0是起始点的关节角速度，v1是结束点的关节角速度，a0是起始点的关节角加速度，a1是结束点的关节角加速度，T=t1-t0，h=q1-q0（q1是结束点的关节角度，q0是开始点的关节角度）

在使用以上公式进行轨迹规划时，需要注意的点和三次多项式中的一样。

针对两点之间的关节角度的五次多项式轨迹规划，使用matlab代码生成的关节角度、关节速度、关节加速度曲线如下所示：

此处，q0=0,q1=10;t0=0,t1=8;v0=v1=0;a0=a1=0

针对多点之间的关节角度的五次多项式轨迹规划，使用matlab代码生成的关节角度、关节速度、关节加速度曲线如下所示：

q0=10, q1=20, q2=0, q3=30, q4=40; t0=0, t1=2, t2=4, t3=8, t4=10; v0=0, v1=-10, v2=10, v3=3, v4=0; a0=a1=a2=a3=a4=0

从以上曲线可以看出，五次多项式中，位移、速度、加速度都是连续的。

另外，从三次多项式和五次多项式的曲线中，可以看出来，这两种轨迹规划的方式，整个过程中没有匀速阶段，一直处于加速或者是减速阶段。而在点胶等应用中，是需要机器人的运动过程一定有匀速阶段的。因此，此种应用的机器人，需要使用其他方式的轨迹规划方式。

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