(我要挑战不用求和符号写文章!)
本文中函数都指一元函数,自变量和因变量都是标量,微分都指常微分。
定义
(线性微分算子):设
为一个微分算子,若对于任意两个函数
、
和常数
、
,该算子满足
,
则称
为线性微分算子。
引理
:
为线性微分算子的充分必要条件为,对于任意的一组函数
和一组常数
(这两个矢量的维数要相同),该算子满足
。
简略的证明:直接令
和
为
维矢量,然后套定义
,可证充分性;用数学归纳法,对
和
的维数进行归纳,可证必要性。
定义
:
。
引理
:设
维矢量
与
无关,
为一个函数列,则
简略的证明:用数学归纳法可证。
引理
:设
为一组关于
的函数,
的维数为
,则微分算子
是线性微分算子。
简略的证明:套用定义
可证。
引理
的推论:设
为
维常矢,则微分算子
是线性微分算子。
引理
(结合律):
。
证明略。
定义
(线性常系数微分算子):符合引理
的推论的线性微分算子称为线性常系数微分算子。
定义
(线性微分方程):设
为一个线性微分算子,则关于函数
的(常)微分方程
称为线性(常)微分方程,其中
为一个函数。
特别地,若
,则该微分方程称为线性齐次微分方程。若
是线性常系数微分算子,则该微分方程称为线性常系数微分方程。
定义
(生成函数):对于数列
,称函数
为该数列的(普通型)生成函数。
(注:这里并没有引入无穷维的向量,实际上
。)
定义
(指数型生成函数):对于数列
,称数列
的(普通型)生成函数为
的指数型生成函数。即
。
引理
(幂函数的微分):设
,则
。
(注:规定负整数的阶乘为无穷大,则当
时
。)
简略的证明:用数学归纳法可证。
引理
(指数型生成函数的微分):若
为数列
的指数型生成函数,则
为数列
的指数型生成函数。
证明:
(定义
)
(引理
)
(引理
)
(引理
)
(引理
的注)
再由定义
可证。
引理
的推论:
。
引理
(结合律):
。
证明略。
定义
(零函数):当自变量取任意值时因变量都取
的函数称为零函数。
引理
:数列
的生成函数为零函数的充分必要条件为对于任意的
有
。
简略的证明:套用定义
和定义
可证充分性;将零函数按Taylor公式展开成幂级数可证必要性。
定义
:
。
引理
(分配律):
。
证明略。
定义
(数列方程):设
为一个未知数列,若函数
中显含该数列的项,则方程
称为关于数列
的数列方程。某个数列,若它对于任意的
满足该方程,则它称为该数列方程的特解,该数列方程的全体特解称为该方程的通解。
定义
(数列的线性相关):若对于一组数列
存在一组不全为
的常数
(
和
维数相同)使得对于任意的
有
,
则称这一组数列线性相关,否则称这一组数列线性无关。
引理
:一组
个数列
线性相关的充分必要条件为,对于任意的
有
。
证明:先证必要性。存在一组不全为
的常数
使得对于任意的
有
(定义
)。
分别令
为
可得
。
令
在第
维上的分量为
,即
,于是
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