一、基本概念
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法（快速排序，归并排序），傅里叶变换（快速傅里叶变换）……
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于 n 个元素的排序问题，当 n = 1 时，不需要任何计算。n = 2 时，只要作一次比较即可排好序。n = 3 时只要作 3 次比较即可…… 。而当 n 较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、基本思路及策略
分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为 n 的问题，若该问题可以容易地解决（比如 n 规模较小）则直接解决，否则将其分解为 k 个规模较小的问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归的解决这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可以分割成 k 个子问题，1 < k <= n, 且这些子问题都可解并可以利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断减小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
- 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
- 该问题可以分解为若干规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
- 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解
- 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题的是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解决公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划较好。
四、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
**step **1 分解：将原问题分解为若干规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
**step **2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接求解，否则递归地解各个子问题；
**step **3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
五、可使用分治法求解的一些经典问题
- 二分搜索
- 大整数乘法
- Strassen 矩阵乘法
- 棋盘覆盖
- 合并排序
- 快速排序
- 线性时间选择
- 最接近点对问题
- 循环赛日程表
- 汉诺塔
六、依据分治法设计程序时的思维过程
实际上就是类似与数学归纳法，找到解决问题的求解方程式，然后根据方程式设计递归程序。
- 一定是先找到最小问题规模时的求解方法
- 然后考虑随着问题规模增大时的解决方法
- 找到求解的递归函数式后，设计递归程序即可
