常用算法四(回溯算法)

1、基本概念

      回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现已不满足求解条件时,就“回溯”返回,尝试别的路径。

   回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

     许多复杂的,规模较大的问题都可以使用回溯法,有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

   在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含,就从该结点出发继续探索下去,如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。(其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法)。

       若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

       而若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3、用回溯法解题的一般步骤:

    (1)针对所给问题,确定问题的解空间:

            首先应明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。

    (2)确定结点的扩展搜索规则

    (3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法应用示例:

八皇后问题的递归实现

[java] 
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  1. public class Empress {    
  2.         
  3.     private int n ; //皇后个数    
  4.     private int[] x ; //当前解    
  5.     private long sum ; //当前已找到的可行方案数    
  6.     private static int h ;      //记录遍历方案序数    
  7.     
  8.     public Empress(){    
  9.         this.sum = 0 ;  //初始化方案数为1,当回溯到最佳方案的时候,就自增1    
  10.         this.n = 8 ;    //求n皇后问题,由自己定义    
  11.         this.x = new int[n+1];  //x[i]表示皇后i放在棋盘的第i行的第x[i]列    
  12.         h = 1 ; //这个是我额外定义的变量,用于遍历方案的个数,请看backTrace()中h变量的作用,这里将它定义为static静态变量    
  13.     }    
  14.     
  15.     public boolean place (int k){    
  16.         for (int j = 1 ; j < k ; j++){    
  17.             //这个主要是刷选符合皇后条件的解,因为皇后可以攻击与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子    
  18.             if ( (Math.abs(k – j)) == (Math.abs(x[j]-x[k])) || (x[j] == x[k]) ){    
  19.                 return false ;  //如果是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子,返回false;    
  20.             }    
  21.         }    
  22.         return true ;//如果不是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子,返回true;    
  23.     }    
  24.         
  25.     public void backTrace (int t){    
  26.         if (t > n){  //当t>n时,算法搜索到叶节点,得到一个新的n皇后互不攻击放置方案,方案数加1    
  27.             sum ++ ;    //方案数自增1    
  28.             System.out.println (“方案” + (h++) + “”);    
  29.             print(x);    
  30.             System.out.print (“\n—————-\n”);//华丽的分割线    
  31.         }else { //当t<=n时,当前扩展的结点Z是解空间中的内部结点,该节点有x[i]=1,2,…,n共n个子结点,    
  32.                 //对于当前扩展结点Z的每一个儿子结点,由place()方法检测其可行性,    
  33.                 //并以深度优先的方式递归地对可行子树搜索,或剪去不可行子数    
  34.             for (int i = 1 ; i <= n ; i++){    
  35.                 x[t] = i ;      
  36.                 if (place (t)){     //检查结点是否符合条件    
  37.                     backTrace (t+1);    //递归调用                  
  38.                 }    
  39.             }    
  40.         }    
  41.     }    
  42.         
  43.     public void print (int[] a){    //打印数组,没啥的    
  44.         for (int i = 1 ; i < a.length ; i++){    
  45.             System.out.print (“皇后” + i + “在” + i + “行” +a[i] + “列、”);    
  46.         }    
  47.     }    
  48.         
  49.     public static void main (String[] args){    
  50.         Empress em = new Empress();    
  51.         em.backTrace(1);    //从1开始回溯    
  52.         System.out.println (“\n详细方案如上所示,”+“可行个数为:” + em.sum);    
  53.     }    
  54. }/*output:八皇后问题只有92种方案,这里只给出其中的三个方案  
  55. 方案1  
  56. 皇后1在1行1列、皇后2在2行5列、皇后3在3行8列、皇后4在4行6列、皇后5在5行3列、皇后6在6行7列、皇后7在7行2列、皇后8在8行4列、  
  57. —————-  
  58. 方案2  
  59. 皇后1在1行1列、皇后2在2行6列、皇后3在3行8列、皇后4在4行3列、皇后5在5行7列、皇后6在6行4列、皇后7在7行2列、皇后8在8行5列、  
  60. —————-  
  61.         .  
  62.         .  
  63.         .  
  64. 方案92  
  65. 皇后1在1行8列、皇后2在2行4列、皇后3在3行1列、皇后4在4行3列、皇后5在5行6列、皇后6在6行2列、皇后7在7行7列、皇后8在8行5列、  
  66. —————-  
  67. *///~    

分书问题
    有编号为 A、B、C、D、E 的 5 本书,以及 5 个人,每本书可以分给每一个对该书有兴趣的人阅读,且每个人都只能分到一本自己
感兴趣的书。问当给定 5 个人对 5 本书的感兴趣情况时,怎样分配这 5 本书才能让每个人都开始阅读。

思路:每次都尝试给第 p 个人从 5 本书中分出他感兴趣的一本,若不能构成最终解,则撤销回溯到上一个人(即第 p – 1 个人)的分配。
我们如下确定:
int bookCounts 表示书的总数量,与总人数相等
int like [p] [b] = 1 表示第 p 个人喜欢读第 b 本书,即具体的问题初始条件;
int given [b] = p 表示第 b 本书分给了第 p 个人,即保存解的标识数组;
注:在这里 p ,b (即下标)都从 0 开始,算法实现如下:

/**
  * 回溯法求解分书问题 
  * @author haolloyin
  */

 public class AllacateBooks {
     // 书的总数量,与总人数相等
     private int bookCounts = 5;

     // like[p][b]=1 表示第 p 个人喜欢读第 b 本书
      private int[][] like = new int[bookCounts][bookCounts];

    // given[b] = p 表示将第 b 本书分配给第 p 个人
      private int[] given = new int[bookCounts];

    // 初始化标识数组 given[] 和传入各人喜欢书的情况数组
      private void init(int like[][]) {
        for (int i = 0; i < bookCounts; i++) {
           given[i] = -1; // -1 表示第 i 本书还没分配出去
        }
          this.like = like;
      }

    // 尝试给每一个人分配一本书
      public void allocateBook(int person) {
        for (int bookNum = 0; bookNum < bookCounts; bookNum++) {
          if (like[person][bookNum] == 1 && given[bookNum] == -1) {
             given[bookNum] = person;
             if (person == bookCounts - 1) {
                // 打印结果
                for (int i = 0; i < bookCounts; i++) {
                 System.out.println("人 " + (given[i]+1) + " <---> 书 " + ((char)(i + 'A')));
                }
                System.out.println();
             } else {
               // 为下一个人分配一本书
               allocateBook(person + 1);
             }
            // 失败,回溯重新寻找解
             given[bookNum] = -1;
         }
       }
      }

 // 测试
   public static void main(String[] args) {
    // 构造一个问题规模
      int[][] like = new int[][]{
           { 0, 0, 1, 1, 0 },
           { 1, 1, 0, 0, 1 },
           { 0, 1, 1, 0, 1 },
           { 0, 0, 0, 1, 0 },
           { 0, 1, 0, 0, 1 }};
    AllacateBooks allocateBooks = new AllacateBooks();
    allocateBooks.init(like);
    allocateBooks.allocateBook(0);
   }
 } 
 对应于所给的问题规模,所得的解如下:

人 2 <---> 书 A
人 3 <---> 书 B
人 1 <---> 书 C
人 4 <---> 书 D
人 5 <---> 书 E

人 2 <---> 书 A
人 5 <---> 书 B
人 1 <---> 书 C
人 4 <---> 书 D
人 3 <---> 书 E

[实验目的]

综合运用数组、递归等数据结构知识,掌握、提高分析、设计、实现及测试程序的综合能力。

[实验内容及要求]

以一个M×N的长方阵表示迷宫,0和1分别表示迷宫中的通路和障碍。设计一个程序,对任意设定的迷宫,求出一条从入口到出口的通路,或得出没有通路的结论。

(1)   根据二维数组,输出迷宫的图形。

(2)   探索迷宫的四个方向:RIGHT为向右,DOWN向下,LEFT向左,UP向上,输出从入口到出口的行走路径。

[测试数据]

左上角(1,1)为入口,右下角(8,9)为出口。

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

[实现提示]

可使用回溯方法,即从入口出发,顺着某一个方向进行探索,若能走通,则继续往前进;否则沿着原路退回,换一个方向继续探索,直至出口位置,求得一条通路。假如所有可能的通路都探索到而未能到达出口,则所设定的迷宫没有通路。

[java] 
view plain
copy

  1. import java.util.*;  
  2.    
  3. class Position{  
  4.     public Position(){  
  5.    
  6.     }  
  7.    
  8.     public Position(int row, int col){  
  9.         this.col = col;  
  10.         this.row = row;  
  11.     }  
  12.    
  13.     public String toString(){  
  14.         return “(“ + row + ” ,” + col + “)”;  
  15.     }  
  16.    
  17.     int row;  
  18.     int col;  
  19. }  
  20.    
  21. class Maze{  
  22.     public Maze(){  
  23.         maze = new int[15][15];  
  24.         stack = new Stack<Position>();  
  25.         p = new boolean[15][15];  
  26.     }  
  27.    
  28.     /* 
  29.      * 构造迷宫 
  30.      */  
  31.     public void init(){  
  32.         Scanner scanner = new Scanner(System.in);  
  33.         System.out.println(“请输入迷宫的行数”);  
  34.         row = scanner.nextInt();  
  35.         System.out.println(“请输入迷宫的列数”);  
  36.         col = scanner.nextInt();  
  37.         System.out.println(“请输入” + row + “行” + col + “列的迷宫”);  
  38.         int temp = 0;  
  39.         for(int i = 0; i < row; ++i) {  
  40.             for(int j = 0; j < col; ++j) {  
  41.                 temp = scanner.nextInt();  
  42.                 maze[i][j] = temp;  
  43.                 p[i][j] = false;  
  44.             }  
  45.         }  
  46.     }  
  47.    
  48.     /* 
  49.      * 回溯迷宫,查看是否有出路 
  50.      */  
  51.     public void findPath(){  
  52.         // 给原始迷宫的周围家一圈围墙  
  53.         int temp[][] = new int[row + 2][col + 2];  
  54.         for(int i = 0; i < row + 2; ++i) {  
  55.             for(int j = 0; j < col + 2; ++j) {  
  56.                 temp[0][j] = 1;  
  57.                 temp[row + 1][j] = 1;  
  58.                 temp[i][0] = temp[i][col + 1] = 1;  
  59.             }  
  60.         }  
  61.         // 将原始迷宫复制到新的迷宫中  
  62.         for(int i = 0; i < row; ++i) {  
  63.             for(int j = 0; j < col; ++j) {  
  64.                 temp[i + 1][j + 1] = maze[i][j];  
  65.             }  
  66.         }  
  67.         // 从左上角开始按照顺时针开始查询  
  68.    
  69.         int i = 1;  
  70.         int j = 1;  
  71.         p[i][j] = true;  
  72.         stack.push(new Position(i, j));  
  73.         while (!stack.empty() && (!(i == (row) && (j == col)))) {  
  74.    
  75.             if ((temp[i][j + 1] == 0) && (p[i][j + 1] == false)) {  
  76.                 p[i][j + 1] = true;  
  77.                 stack.push(new Position(i, j + 1));  
  78.                 j++;  
  79.             } else if ((temp[i + 1][j] == 0) && (p[i + 1][j] == false)) {  
  80.                 p[i + 1][j] = true;  
  81.                 stack.push(new Position(i + 1, j));  
  82.                 i++;  
  83.             } else if ((temp[i][j – 1] == 0) && (p[i][j – 1] == false)) {  
  84.                 p[i][j – 1] = true;  
  85.                 stack.push(new Position(i, j – 1));  
  86.                 j–;  
  87.             } else if ((temp[i – 1][j] == 0) && (p[i – 1][j] == false)) {  
  88.                 p[i – 1][j] = true;  
  89.                 stack.push(new Position(i – 1, j));  
  90.                 i–;  
  91.             } else {  
  92.                 stack.pop();  
  93.                 if(stack.empty()){  
  94.                     break;  
  95.                 }  
  96.                 i = stack.peek().row;  
  97.                 j = stack.peek().col;  
  98.             }  
  99.    
  100.         }  
  101.    
  102.         Stack<Position> newPos = new Stack<Position>();  
  103.         if (stack.empty()) {  
  104.             System.out.println(“没有路径”);  
  105.         } else {  
  106.             System.out.println(“有路径”);  
  107.             System.out.println(“路径如下:”);  
  108.             while (!stack.empty()) {  
  109.                 Position pos = new Position();  
  110.                 pos = stack.pop();  
  111.                 newPos.push(pos);  
  112.             }  
  113.         }  
  114.            
  115.         /* 
  116.          * 图形化输出路径 
  117.          * */  
  118.            
  119.         String resault[][]=new String[row+1][col+1];  
  120.         for(int k=0;k<row;++k){  
  121.             for(int t=0;t<col;++t){  
  122.                 resault[k][t]=(maze[k][t])+“”;  
  123.             }  
  124.         }  
  125.         while (!newPos.empty()) {  
  126.             Position p1=newPos.pop();  
  127.             resault[p1.row-1][p1.col-1]=“#”;  
  128.            
  129.         }  
  130.            
  131.         for(int k=0;k<row;++k){  
  132.             for(int t=0;t<col;++t){  
  133.                 System.out.print(resault[k][t]+“\t”);  
  134.             }  
  135.             System.out.println();  
  136.         }  
  137.        
  138.    
  139.     }  
  140.    
  141.     int maze[][];  
  142.     private int row = 9;  
  143.     private int col = 8;  
  144.     Stack<Position> stack;  
  145.     boolean p[][] = null;  
  146. }  
  147.    
  148. class hello{  
  149.     public static void main(String[] args){  
  150.         Maze demo = new Maze();  
  151.         demo.init();  
  152.         demo.findPath();  
  153.     }  
  154. }  
    原文作者:五大常用算法
    原文地址: https://blog.csdn.net/ningzero123/article/details/8761474
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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