【基础算法】(08)五大常用算法之四：回溯法
Auther: Thomas Shen
E-mail: Thomas.shen3904@qq.com
Date: 2017/10/24
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1. 简述：
本系列介绍了五大常用算法，其中本文是第四篇，介绍了 ‘回溯算法’ 的细节内容。
2. 算法原理：
回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。
2.1 基本思想：
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
2.2 算法步骤：
- 针对所给问题，确定问题的解空间;
- 首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解;
- 确定结点的扩展搜索规则;
- 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
3. 代码框架：
- 问题框架：
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。
- 非递归回溯框架：
int a[n],i;
初始化数组a[];
i = 1;
while (i>0(有路可走) and (未达到目标)) // 还未回溯到头
{
if(i > n) // 搜索到叶结点
{
搜索到一个解，输出；
}
else // 处理第i个元素
{
a[i]第一个可能的值；
while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
{
a[i]下一个可能的值；
}
if(a[i]在搜索空间内)
{
标识占用的资源；
i = i+1; // 扩展下一个结点
}
else
{
清理所占的状态空间； // 回溯
i = i –1;
}
}
}- 递归的算法框架：
回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单。
在回溯法执行时，应当：保存当前步骤，如果是一个解就输出；维护状态，使搜索路径（含子路径）尽量不重复。必要时，应该对不可能为解的部分进行剪枝(pruning)。
bool finished = FALSE; /* 是否获得全部解? */
backtrack(int a[], int k, data input)
{
int c[MAXCANDIDATES]; /*这次搜索的候选 */
int ncandidates; /* 候选数目 */
int i; /* counter */
if (is_a_solution(a,k,input))
process_solution(a,k,input);
else {
k = k+1;
construct_candidates(a,k,input,c,&ncandidates);
for (i=0; i<ncandidates; i++) {
a[k] = c[i];
make_move(a,k,input);
backtrack(a,k,input);
unmake_move(a,k,input);
if (finished)
return; /* 如果符合终止条件就提前退出 */
}
}
}对于其中的函数和变量，解释如下：
a[]表示当前获得的部分解；
k表示搜索深度；
input表示用于传递的更多的参数；
is_a_solution(a,k,input)判断当前的部分解向量a[1…k]是否是一个符合条件的解；
construct_candidates(a,k,input,c,ncandidates)根据目前状态，构造这一步可能的选择，存入c[]数组，其长度存入ncandidates；
process_solution(a,k,input)对于符合条件的解进行处理，通常是输出、计数等；
make_move(a,k,input)和unmake_move(a,k,input)前者将采取的选择更新到原始数据结构上，后者把这一行为撤销。
4. 应用案例：
- 0-1背包问题；
- 旅行售货员问题；
- 八皇后问题；
- 迷宫问题；
- 图的m着色问题。
1. 0-1背包问题：
问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。
#include <stdio.h>
#define N 3 //物品的数量
#define C 16 //背包的容量
int w[N]={10,8,5}; //每个物品的重量
int v[N]={5,4,1}; //每个物品的价值
int x[N]={0,0,0}; //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
int CurWeight = 0; //当前放入背包的物品总重量
int CurValue = 0; //当前放入背包的物品总价值
int BestValue = 0; //最优值；当前的最大价值，初始化为0
int BestX[N]; //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
//t = 0 to N-1
void backtrack(int t)
{
//叶子节点，输出结果
if(t>N-1)
{
//如果找到了一个更优的解
if(CurValue>BestValue)
{
//保存更优的值和解
BestValue = CurValue;
for(int i=0;i<N;++i) BestX[i] = x[i];
}
}
else
{
//遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包
for(int i=0;i<=1;++i)
{
x[t]=i;
if(i==0) //不放入背包
{
backtrack(t+1);
}
else //放入背包
{ //约束条件：放的下
if((CurWeight+w[t])<=C)
{
CurWeight += w[t];
CurValue += v[t];
backtrack(t+1);
CurWeight -= w[t];
CurValue -= v[t];
}
}
}
//PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式，并不够简洁
}
}
int main(int argc, char* argv[])
{
backtrack(0);
printf("最优值：%d\n",BestValue);
for(int i=0;i<N;i++)
{
printf("最优解：%-3d",BestX[i]);
}
return 0;
} 2. 旅行售货员问题：
问题描述：
某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。
如下图：1，2，3，4 四个城市及其路线费用图，任意两个城市之间不一定都有路可达。
回溯法：
http://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/6058931
/********************************************************* *问 题：旅行售货员 *算 法：回溯法 *描 述：解空间为 排列树 *********************************************************/
#include <stdio.h>
#define N 4 //城市数目
#define NO_PATH -1 //没有通路
#define MAX_WEIGHT 4000
int City_Graph[N+1][N+1]; //保存图信息
int x[N+1]; //x[i]保存第i步遍历的城市
int isIn[N+1]; //保存 城市i是否已经加入路径
int bestw; //最优路径总权值
int cw; //当前路径总权值
int bestx[N+1]; //最优路径
//-----------------------------------------------------------------
void Travel_Backtrack(int t){ //递归法
int i,j;
if(t>N){ //走完了，输出结果
for(i=1;i<=N;i++) //输出当前的路径
printf("%d ",x[i]);
printf("/n");
if(cw < bestw){ //判断当前路径是否是更优解
for (i=1;i<=N;i++){
bestx[i] = x[i];
}
bestw = cw;
}
return;
}
else{
for(j=1;j<=N;j++){ //找到第t步能走的城市
if(City_Graph[x[t-1]][j] != NO_PATH && !isIn[j]){ //能到而且没有加入到路径中
isIn[j] = 1;
x[t] = j;
cw += City_Graph[x[t-1]][j];
Travel_Backtrack(t+1);
isIn[j] = 0;
x[t] = 0;
cw -= City_Graph[x[t-1]][j];
}
}
}
}
void main(){
int i;
City_Graph[1][1] = NO_PATH;
City_Graph[1][2] = 30;
City_Graph[1][3] = 6;
City_Graph[1][4] = 4;
City_Graph[2][1] = 30;
City_Graph[2][2] = NO_PATH;
City_Graph[2][3] = 5;
City_Graph[2][4] = 10;
City_Graph[3][1] = 6;
City_Graph[3][2] = 5;
City_Graph[3][3] = NO_PATH;
City_Graph[3][4] = 20;
City_Graph[4][1] = 4;
City_Graph[4][2] = 10;
City_Graph[4][3] = 20;
City_Graph[4][4] = NO_PATH;
//测试递归法
for (i=1;i<=N;i++){
x[i] = 0; //表示第i步还没有解
bestx[i] = 0; //还没有最优解
isIn[i] = 0; //表示第i个城市还没有加入到路径中
}
x[1] = 1; //第一步 走城市1
isIn[1] = 1; //第一个城市 加入路径
bestw = MAX_WEIGHT;
cw = 0;
Travel_Backtrack(2); //从第二步开始选择城市
printf("最优值为%d/n",bestw);
printf("最优解为:/n");
for(i=1;i<=N;i++){
printf("%d ",bestx[i]);
}
printf("/n");
} 分支界限法：
http://blog.csdn.net/JarvisChu/article/details/5974895
3. N皇后问题：
问题：
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
分析：
从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。
使用Board[N][N]来表示棋盘，Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空，Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。
全局变量way表示总共的摆放方法数目。
使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时，说明所有皇后都已经摆 放完成，这是一个可行的摆放方法，输出结果；否则，遍历棋盘，找皇后t所有可行的摆放位置，Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处，如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1，如果不能摆放，则判断下一个位置。
Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法，继而判断(row,col)处是否已有皇后，有则冲突，返回0，无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向，每次从（row,col）向四个方向延伸一个格子，判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突，则返回1，表示此位置可以摆放一个皇后。
/************************************************************************ * 名 称：NQueen.cpp * 功 能：回溯算法实例：N皇后问题 * 作 者：JarvisChu * 时 间：2013-11-13 ************************************************************************/
#include <stdio.h>
#define N 8
int Board[N][N];<span style="white-space:pre"> </span>//棋盘 0表示空白 1表示有皇后
int way;<span style="white-space:pre"> </span>//摆放的方法数
//判断能否在(x,y)的位置摆放一个皇后；0不可以，1可以
int Feasible(int row,int col)
{
//位置不合法
if(row>N || row<0 || col >N || col<0)
return 0;
//该位置已经有皇后了，不能
if(Board[row][col] != 0)
{ //在行列冲突判断中也包含了该判断，单独提出来为了提高效率
return 0;
}
//////////////////////////////////////////////////
//下面判断是否和已有的冲突
//行和列是否冲突
for(int i=0;i<N;++i)
{
if(Board[row][i] != 0 || Board[i][col]!=0)
return 0;
}
//斜线方向冲突
for(int i=1;i<N;++i)
{
/* i表示从当前点(row,col)向四个斜方向扩展的长度 左上角 \ / 右上角 i=2 \/ i=1 /\ i=1 左下角 / \ 右下角 i=2 */
//左上角
if((row-i)>=0 && (col-i)>=0) //位置合法
{
if(Board[row-i][col-i] != 0)//此处已有皇后，冲突
return 0;
}
//左下角
if((row+i)<N && (col-i)>=0)
{
if(Board[row+i][col-i] != 0)
return 0;
}
//右上角
if((row-i)>=0 && (col+i)<N)
{
if(Board[row-i][col+i] != 0)
return 0;
}
//右下角
if((row+i)<N && (col+i)<N)
{
if(Board[row+i][col+i] != 0)
return 0;
}
}
return 1; //不会发生冲突，返回1
}
//摆放第t个皇后 ；从1开始
void Queen(int t)
{
//摆放完成，输出结果
if(t>N)
{
way++;
/*如果N较大，输出结果会很慢；N较小时，可以用下面代码输出结果 for(int i=0;i<N;++i){ for(int j=0;j<N;++j) printf("%-3d",Board[i][j]); printf("\n"); } printf("\n------------------------\n\n"); */
}
else
{
for(int i=0;i<N;++i)
{
for(int j=0;j<N;++j)
{
//（i,j）位置可以摆放皇后，不冲突
if(Feasible(i,j))
{
Board[i][j] = 1; //摆放皇后t
Queen(t+1); //递归摆放皇后t+1
Board[i][j] = 0; //恢复
}
}
}
}
}
//返回num的阶乘,num!
int factorial(int num)
{
if(num==0 || num==1)
return 1;
return num*factorial(num-1);
}
int main(int argc, char* argv[])
{
//初始化
for(int i=0;i<N;++i)
{
for(int j=0;j<N;++j)
{
Board[i][j]=0;
}
}
way = 0;
Queen(1); //从第1个皇后开始摆放
//如果每个皇后都不同
printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way);//N=8时, way=3709440 种
//如果每个皇后都一样，那么需要除以 N！出去重复的答案（因为相同，则每个皇后可任意调换位置）
printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way/factorial(N));//N=8时, way=3709440/8! = 92种
return 0;
} PS：该问题还有更优的解法。充分利用问题隐藏的约束条件：每个皇后必然在不同的行(列)，每个行(列)必然也只有一个皇后。这样我们就可以把N个皇后放到N个行中，使用Pos[i]表示皇后i在i行中的位置（也就是列号）（i = 0 to N-1）。这样代码会大大的简洁，因为节点的子节点数目会减少，判断冲突也更简单。
4. ：
