◉ 问题：

给定n种物品和一个背包。假设物品i(1≤i≤n)的重量为w ,其价值为V，背包的容量为limit.物品i(1≤i≤n)装人背包时,或者不装人,或者全部装人，不能只装人物品i的一” 部分。问:应该如何选择物品装人背包，才能使背包内物品的总价值最大?

◉ 0-1背包问题求解过程:

①定义一维数组w(n)储存物品的重量，一维数组v(n)储存物品的价值。

②定义一维数组x(n)存储0-1背包问题的最优解，变量toal用于存放与最优解对应的背包内物品的总价值。

③定义变量sw和sv分别存储装人背包的物品总重量和总价值，limit存储背包的容量。

④定义一维数组y(n)用于记录一个叶子结点在考虑了n件物品取舍之后的路径信息。

⑤算法从第一件物品开始，逐一试探每件物品的取舍,并记录于数组y。

⑥在试探了n件物品的取舍之后.将数组y对应的叶子结点表示的背包内物品总价值sv与存放最优解的数组x对应的总价值tolal进行比较，如果sv>total,则说明找到了个更好的解，此时，分别用y和sv的值更新x和total的值。

⑦当检测到某个分支结点时，若发现该结点的SW值已经大于背包的容量limit, 就没有必要试探下去，即利用约束函数停止试探;若发现该结点的sv值加上所有尚未试探物品的总价值也不会大于迄今求得的最优解total,也没有必要试探下去，即利用目标函数停止试探。

⑧当检测了所有结点之后，保存在数组x中的信息就是0-1背包问题的最优解。

◉ c语言实现（与上述描述使用的变量名不同，并且使用了结构体描述物品）：

/*
*例题：假设有5种物品，其重量分别为2kg、2kg、6kg、4kg、5kg，价值分别为6美元、3美元、5美元、4美元、6美元，背包的容量为10kg。
*   问：应该如何选择物品装入背包，才能使背包内物品的总价值最大？
*/
#include<stdio.h>

/**常量定义*/
#define N 5         //物品总数量
#define limit 10    //背包容量
#define true 1      //布尔类型
#define false 0     //布尔类型

/**类型定义*/
typedef enum{true_,false_} bool;//布尔类型

typedef struct
{
    int weight;//重量
    int value;//价值
} item;//物品

typedef struct
{
    bool solution[N];//解
    int value;//解的价值
    int weight;//解的重量
} resault;//结果

/**变量定义*/
item items[N] = {{2,6},{2,3},{6,5},{4,4},{5,6}};//物品集

/**回溯递归（物品集定义为全局变量）
*   传入参数：当前试探解，递归层数，最优解储存位置
    输出：当前最优试探解
*/
void findOptimum(resault test, int floor, resault* optimum)
{
    int i;//循环变量
    int restValue = 0;//剩余可获取价值
    if(floor >= N)//是否完成全部搜索
    {
        if(test.value > optimum->value) *optimum = test;//是否为更优解
    }
    else
    {
        if(test.weight + items[floor].weight <= limit)//若将本层物品放入且未超过容量
        {
            test.solution[floor] = true;//本结点层对应物品放入背包
            test.value += items[floor].value;
            test.weight += items[floor].weight;
            findOptimum(test, floor+1, optimum);//递归
            test.solution[floor] = false;//本结点层对应物品取出背包
            test.value -= items[floor].value;
            test.weight -= items[floor].weight;
        }
        for(i=floor+1; i<N; i++)//求除本结点层对应物品外剩余可获取价值
        {
            restValue += items[i].value;
        }
        if(optimum->value < test.value + restValue)//若当前总价值和剩余结点价值已超过或仍可能超过当前最优试探解
        {
            findOptimum(test, floor+1, optimum);//递归
        }
    }
}

/**结果展示函数*/
void showResault(resault* test)
{
    int i;
    printf("\n----------------------\n");
    printf("最优解：\n----------------------\n");
    printf("物品\t重量\t价值\n");
    for(i=0; i<N; i++)
    {
        if((test->solution)[i])
            printf("%d\t%dkg\t%d美元\n", i+1, items[i].weight, items[i].value);
    }
    printf("----------------------\n");
    printf("总量：\t%dkg\t%d美元\n", test->weight, test->value);
    printf("----------------------\n");

    printf("\n----------------------\n");
    printf("全部物品：\n----------------------\n");
    printf("物品\t重量\t价值\n");
    for(i=0; i<N; i++)
    {
        printf("%d\t%dkg\t%d美元\n", i+1, items[i].weight, items[i].value);
    }
    printf("----------------------\n");
    printf("背包容量：%dkg\n", limit);
    printf("----------------------\n");
}

/**主函数*/
int main()
{
    /*递归初始变量定义*/
    resault test = {{0},0, 0};//试探解 初始化为起点 同时作为最优解保存位置
    int floor = 0;//递归层数

    /*最优解查询函数调用*/
    findOptimum(test, floor, &test);

    /*展示最优解*/
    showResault(&test);

    return 0;
}

◉ 运行结果

◉ 回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。

用回溯算法解决问题的一般步骤：

1、 针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。

2 、确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。

3 、以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

◉ 递归的基本原则

1.基准情形：必须总要有某些基准的情形，它们不用递归就能进行求解。

2.不断推进：对于那些需要递归求解的情形，递归调用必须总能够朝着产生基准情形的方向推进。

3.设计法则：假设所有的递归调用都能运行。

4.合成效益法则：在求解一个问题的同一个实例时，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。