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1. /*回溯法解符号三角形问题 
2.  
3. 问题描述： 
4. 如下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形, 2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。 
5. – + + – + + +  
6.  – + – – + +  
7.   – – + – +  
8.    + – – –  
9.     – + +  
10.      – +  
11.       – 
12. 在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号, 符号三角形问题要求对于给定的n， 
13. 计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。 
14.  
15. 解题思路： 
16. 1、不断改变第一行每个符号，搜索符合条件的解，可以使用递归回溯 
17. 为了便于运算，设+ 为0，- 为1，这样可以使用异或运算符表示符号三角形的关系 
18. ++为+即0^0=0, –为+即1^1=0, +-为-即0^1=1, -+为-即1^0=1; 
19.  
20. 2、因为两种符号个数相同，可以对题解树剪枝， 
21. 当所有符号总数为奇数时无解，当某种符号超过总数一半时无解 
22.  
23. 参考了学习资料，重新实现以练习，有疏漏之处敬请指正zd163boy@163.com。 
24. 杨小进，17:13 2009-8-5  
25. */  
26. #include”iostream”  
27. using namespace std;  
28. typedef unsigned char uchar;  
29.   
30. char cc[2]={‘+’,‘-‘};   //便于输出  
31. int n,                  //第一行符号总数  
32.     half,               //全部符号总数一半  
33.     counter;            //1计数，即“-”号计数  
34.       
35. uchar **p;              //符号存储空间      
36. long sum;               //符合条件的三角形计数  
37.   
38. //t，第一行第t个符号  
39. void Backtrace(int t)  
40. {  
41.     int i, j;  
42.       
43.     if( t > n )  
44.     {//符号填充完毕  
45.         sum++;  
46.           
47.         //打印符号  
48.         cout << “第” << sum << “个:”<<endl;  
49.         for(i=1; i<=n; ++i)  
50.         {  
51.             for(j=1; j<i; ++j)  
52.             {  
53.                 cout << ” “;  
54.             }  
55.               
56.             for(j=1; j<=n-i+1; ++j)  
57.             {  
58.                 cout << cc[ p[i][j] ] << ” “;  
59.             }  
60.             cout <<endl;  
61.         }  
62.     }  
63.     else  
64.     {  
65.        for(i=0; i<2; ++i)  
66.        {  
67.             p[1][t] = i;        //第一行第t个符号  
68.             counter += i;       //“-”号统计  
69.               
70.             for(j=2; j<=t; ++j)  //当第一行符号>=2时，可以运算出下面行的某些符号  
71.             {  
72.                 p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];//通过异或运算下行符号  
73.                 counter += p[j][t-j+1];                       
74.             }  
75.   
76.             if( (counter <= half) && ( t*(t+1)/2 – counter <= half) )  
77.             {//若符号统计未超过半数，并且另一种符号也未超过半数  
78.                 Backtrace(t+1);         //在第一行增加下一个符号  
79.             }  
80.               
81.             //回溯，判断另一种符号情况  
82.             for(j=2; j<=t; ++j)    
83.             {  
84.                 counter -= p[j][t-j+1];  
85.             }  
86.                
87.             counter -= i;  
88.        }  
89.     }  
90. }  
91.   
92. int main()  
93. {     
94.     cout << “请输入第一行符号个数n：”;  
95.     cin >> n;  
96.     counter = 0;  
97.     sum = 0;  
98.     half = n*(n+1)/2;  
99.     int i=0;  
100.       
101.     if( half%2 == 0 )  
102.     {//总数须为偶数，若为奇数则无解  
103.         half /= 2;  
104.         p = new uchar *[n+1];  
105.   
106.         for(i=0; i<=n; ++i)  
107.         {  
108.            p[i] = new uchar[n+1];  
109.            memset(p[i], 0, sizeof(uchar)*(n+1));  
110.         }  
111.              
112.         Backtrace(1);  
113.         for(i=0; i<=n; ++i)  
114.         {  
115.             delete[] p[i];  
116.         }  
117.         delete[] p;  
118.     }  
119.       
120.     cout << “/n总共 “ << sum << ” 个”<< endl;  
121.     return 0;  
122. }  

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1. #include <iostream>  
2. using namespace std;  
3.   
4. class Triangle  
5. {  
6. private:  
7.     int num;//第一行的符号数量  
8.     int **p;//存储+ -号，0表示-，1表示+  
9.     int count;//记录+号数量,根据+号数量，可以用i*(i+1)/2-count求出减号数量  
10.     int sum;//记录+与-数量相等且等于num*(num+1)/4的情况  
11.     const int half;//加号=减号=总符号数/2  
12. public:  
13.     //构造函数  
14.     Triangle(int num):half(num*(num+1)/4)  
15.     {  
16.         this->num=num;  
17.         count=0;  
18.         sum=0;  
19.   
20.         p=new int* [num+1];  
21.         for(int i=0;i<=num;i++)  
22.         {  
23.             p[i]=new int[num+1];//开辟一个num*num的矩阵，用于在回溯过程中记录三角形符号分布  
24.         }  
25.     }  
26.     //调用回溯算法，并且先判断num*(num+1)/2是否为奇数  
27.     void triangleSolve()  
28.     {  
29.         if(num*(num+1)/2%2==0)  
30.         {  
31.             triangle(1);  
32.             display();  
33.         }  
34.         else  
35.         {  
36.             cout<<“不存在可能性”<<endl;  
37.             return;  
38.         }  
39.     }  
40.     //回溯核心算法  
41.     void triangle(int i)  
42.     {  
43.         if(i>num)  
44.         {  
45.             ++sum;  
46.             return;  
47.         }  
48.   
49.         for(int j=0;j<=1;j++)  
50.         {  
51.             p[1][i]=j;  
52.             count+=j;  
53.             for(int k=2;k<=i;k++)  
54.             {  
55.                 p[k][i-k+1]=p[k-1][i-k+1]^p[k-1][i-k+2];//相同则为1，不同则为0，代表题目的规则.1为+，0为-  
56.                 count+=p[k][i-k+1];  
57.             }  
58.             if(count<=half&&i*(i+1)/2-count<=half)//剪枝函数，约束函数，如果当前的+，-都小于符号数一半，那么继续递归  
59.             {  
60.                 triangle(i+1);  
61.             }  
62.             //恢复现场  
63.             for(int k=2;k<=i;k++)  
64.             {  
65.                 count-=p[k][i-k+1];//减去新加入右侧边的+符号数量  
66.             }  
67.             count-=j;//减去i位置的+数量  
68.         }  
69.     }  
70.     void display()  
71.     {  
72.         cout<<“边长为”<<num<<“的情况下，一共有”<<sum<<“种符号三角形具有同等数量的+与-号”<<endl;  
73.     }  
74. };  
75.   
76. void main()  
77. {  
78.     Triangle test(7);//设置第一行有7个符号  
79.     test.triangleSolve();//解决问题  
80. }  

求+，-数量相等的三角形数量，整个三角形只与第一行的符号有关。

所以可以逐次安排第一行的每一个符号，由于每次安排好一个符号，那么就会在原确定的三角形最右侧加一条三角形边。 所以，利用回溯法，逐次对第一行每一个位置的符号做出选择，并且扩充新的三角形边。 为了实现回溯算法的优化，必须有剪枝函数，所以这里用+，-都小于总符号数的一半作为约束，只要能够递归到第n+1个字符，说明1到n个字符的安排都满足+<=half,-<=half，所以就是+与-数量相等，sum++。  为了在回溯过程中能够及时的计算出三角形的最新状况，所以设置了二维数组用于存储三角形，根据图形的关系可以求出三角形的右侧边加入到二维数组中。

转自：http://blog.csdn.net/qq120848369/article/details/5445282