0.回溯法的算法框架
A.简介
回溯法，又称试探法。一般需要遍历解空间，时间复杂度概况：子集树Ω(2^n)，排序树Ω(n!)，暴力法
B.回溯法解题三步骤
1）定义问题的解空间
如0-1背包问题，当n=3时，解空间是(0,0,0)、(0,0,1)、(0,1,0)、(0,1,1)、(1,0,0)、(1,0,1)、(1,1,0)、(1,1,1)。1代表选择该物品，0代表不选择该物品
2）确定易搜索的解空间结构
3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索
C.子集树、排列树及其他
1）子集树
a.概念
当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足的某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。例如，0-1背包问题，要求在n个物品的集合S中，选出几个物品，使物品在背包容积C的限制下，总价值最大（即集合S的满足条件<容积C下价值最大>的某个子集）。
另：子集树是从集合S中选出符合限定条件的子集，故每个集合元素只需判断是否（0,1）入选，因此解空间应是一颗满二叉树
b.回溯法搜索子集树的一般算法
void backtrack(int t)//t是当前层数 { if(t>n)//需要判断每一个元素是否加入子集，所以必须达到叶节点，才可以输出 { output(x); } else { for(int i=0;i<=1;i++)//子集树是从集合S中，选出符合限定条件的子集，故每个元素判断是（1）否（0）选入即可（二叉树），因此i定义域为{0,1} { x[t]=i;//x[]表示是否加入点集，1表示是，0表示否 if(constraint(t)&&bound(t))//constraint(t)和bound(t)分别是约束条件和限定函数 { backtrack(t+1); } } } }
2）排列树
a.概念
当问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间称为排列树。排列树与子集树最大的区别在于，排列树的解包括整个集合S的元素，而子集树的解则只包括符合条件的集合S的子集。
b.回溯法搜素排列树的一般算法
void backtrack(int t)//t是当前层数 { if(t>n)//n是限定最大层数 { output(x); } else { for(int i=t;i<=n;i++)//排列树的节点所含的孩子个数是递减的，第0层节点含num-0个孩子，第1层节点含num-1个孩子，第二层节点含num-2个孩子···第num层节点为叶节点，不含孩子。即第x层的节点含num-x个孩子，因此第t层的i，它的起点为t层数，终点为num，第t层（根节点为空节点，除外），有num-t+1个亲兄弟，需要轮num-t+1回 { swap(x[t],x[i]);//与第i个兄弟交换位置，排列树一条路径上是没有重复节点的，是集合S全员元素的一个排列，故与兄弟交换位置后就是一个新的排列 if(constraint(t)&&bound(t))//constraint(t)和bound(t)分别是约束条件和限定函数 { backtrack(t+1); } swap(x[i],x[t]); } } }
3）解空间非子集树，非排列树
递归：
void backtrack(int t) { if(t>n) { output(x); } else { for(int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if(constraint(t)&&bound(t)) { backtrack(t+1); } } } }迭代：
void backtrack(int t) { int t=1; while(t>0) { if(f(n,t)<=g(n,t)) { for(int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++)//f和g是当前扩展节点的起止点 { x[t]=h(i); if(constraint(t)&&bound(t)) { if(solution(t))//原先的递归出口 { output(x); } else { t++;//未解决问题，但在限定条件之内，走下一层 } } } } else { t--;//回到上一层 } } }
D.方法
先判断问题是子集树、排列树、还是非子集树非排列树，然后在做
1.装载问题
A.递归
根据节1给出的回溯模板，模仿所得，子集树
在编写时未考虑最优解问题（C1上装载越多，解越优），故本程序无法剪枝。若要考虑最优解，当总载重量小于最优载重量时，可以把右子树（0，不选择）全部剪去
#include<iostream> #include<vector> #include<cstdlib> using namespace std; int c1,c2,wsum; vector<int> w; vector<int> s;//是否加入点集C1 int random(int start,int end) { return start+rand()%(end-start); } int s1=0; void maxLoading(int c1w,int t) { if(t>=w.size()) { if((wsum-c1w)<=c2) { cout<<"choice "<<++s1<<":\n\tc1 :"; for(int i=0;i<s.size();i++) { if(s[i]==1) { cout<<i<<"\t"; } } cout<<endl; } } else { for(int i=0;i<=1;i++) { s[t]=i; if(i==1) { c1w+=w[t]; } if(c1w<=c1) { maxLoading(c1w,t+1); } } } } int main() { int num; cin>>num>>c1>>c2; wsum=0; for(int i=0;i<num;i++) { int temp=random(1,100); w.push_back(temp); s.push_back(-1); wsum+=temp; cout<<temp<<"\t"; } cout<<endl; maxLoading(0,0); return 0; }课本中和上述其实是一样的，一个用for，i=0，i=1来访问左右子树，弃用for，直接上
void maxLoading(int c1w,int t) { if(t>=w.size()) { if((wsum-c1w)<=c2) { cout<<"choice "<<++s1<<":\n\tc1 :"; for(int i=0;i<s.size();i++) { if(s[i]==1) { cout<<i<<"\t"; } } cout<<endl; } } else { if(c1w+w[t]<=c1)//左子树 { c1w+=w[t]; s[t]=1; maxLoading(c1w,t+1); c1w-=w[t]; } s[t]=0; maxLoading(c1w,t+1);//右子树 } }B.迭代
其实就是二叉树遍历的非递归版本（直接爬的代码）
template <class Type> Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n,int bestx[]) { //迭代回溯法，返回最优装载量及其相应解，初始化根节点 int i =1; int *x = new int[n+1]; Type bestw = 0, cw = 0, r = 0; for(int j=1;j<=n;j++) r+=w[j]; while(true) { while(i<=n && cw+w[i]<=c) { r -= w[i]; cw +=w[i]; x[i] =1; i++; } if(i>n) { for(int j=1;j<=n;j++) bestx[j] = x[j]; bestw = cw; } else { r -= w[i]; x[i] = 0; i++; } while(cw+w[i] <= bestw) { i--; while(i>0 && !x[i]) { r+=w[i]; i--; } if(i == 0) { delete[] x; return bestw; } x[i] =0; cw -= w[i]; i++; } } }
2.批处理作业调度
排列树
#include<iostream> #include<vector> #include<cstdlib> #include<climits> #include<algorithm> using namespace std; struct Node { int tm1; int tm2; }; vector<int> x;//当前路径 vector<int> bestx;//最优路径 vector<int> f2;//机器2完成处理时间 vector<Node> v;//每个作业需要的处理时间 int bestT; int f;//完成时间和 int f1;//机器1完成处理时间 int num;//作业数 int random(int start,int end) { return start+rand()%(end-start); } void flowShop(int t)//t>=1 { if(t>num) { for(int i=1;i<=num;i++) { bestx[i]=x[i]; } bestT=f; } else { for(int i=t;i<=num;i++) { f1+=v[x[i]].tm1; f2[t]=((f2[t-1]>f1)?f2[t-1]:f1)+v[x[i]].tm2; f+=f2[t]; swap(x[t],x[i]); if(f<bestT)//剪枝剪去f>=bestT的分支 { flowShop(t+1); } swap(x[i],x[t]); f1-=v[x[i]].tm1; f-=f2[t]; } } } int main() { cin>>num; for(int i=0;i<=num;i++) { Node t; t.tm1=random(1,10); t.tm2=random(1,10); v.push_back(t); x.push_back(i);//初始化路径为作业输入顺序 f2.push_back(0); bestx.push_back(-1); } f=0; f1=0; bestT=INT_MAX; flowShop(1); for(int i=1;i<=num;i++) { cout<<bestx[i]<<"\t"; } cout<<"\n"<<bestT<<endl; }
3.符号三角形问题
行一的每个元素都具有两种选择（0，+，1，-），行n的符号由行n-1来决定。
子集树，未剪枝
#include<iostream> #include<vector> using namespace std; vector<int> v; int num; int countSame=0; bool isEqual() { int count0=0; int k=num; for(int j=num;j>0;j--)//确定符号 { for(int i=k;i<k+j-1;i++) { v[i]=(v[i-j]==v[i-j+1])?0:1; } k+=j-1; } for(int i=0;i<(num+1)*num/2;i++)//统计减号个数 { if(v[i]) { count0++; } } if(count0*2==num*(num+1)/2)//是否相等 { return true; } return false; } void Triangels(int t) { if(t>=num) { if(isEqual())//相等加1 { countSame++; } } else { for(int i=0;i<=1;i++)//行一num个元素，均有两种选择 { v[t]=i; Triangels(t+1); } } } int main() { cin>>num; for(int i=0;i<(num+1)*num/2;i++) { v.push_back(-1); } Triangels(0); cout<<countSame<<endl; }
4.n后问题
n后问题，解空间非子集树，非排列树（一直往这方向上靠，做了上面3个题，有些先入为主了）
每行皇后只有一位，用v[ i ] = j来表示皇后在( i , j )，确实没有想到（一直考虑用二维数组，或者一维数组模拟二维数组）
用斜率来判断是否在一条斜线上，这个也没想到
A.递归
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> using namespace std; vector<int> v;//v[i]=j，表示第i行，第j列是皇后 int num;//棋盘行长，列长，也是皇后个数 int sum;//可行方案个数 bool isOk(int t) { for(int j=1;j<t;j++)//待选皇后v[t]，是否与t行之前的皇后有冲突（每行一个皇后） { if(v[t]==v[j]||abs(t-j)==abs(v[t]-v[j]))//用斜率来判断是否在一条斜线上！！！ { return false; } } return true; } void nQueen(int t) { if(t>num) { sum++; } else { for(int i=1;i<=num;i++) { v[t]=i;//第t行的皇后放在第i列 if(isOk(t)) { nQueen(t+1); } } } } int main() { sum=0; cin>>num; for(int i=0;i<=num;i++) { v.push_back(0); } nQueen(1); cout<<sum<<endl; }B.迭代
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> using namespace std; vector<int> v;//v[i]=j，表示第i行，第j列是皇后 int num;//棋盘行长，列长，也是皇后个数 int sum;//可行方案个数 bool isOk(int t) { for(int j=1;j<t;j++)//待选皇后v[t]，是否与t行之前的皇后有冲突（每行一个皇后） { if(v[t]==v[j]||abs(t-j)==abs(v[t]-v[j]))//用斜率来判断是否在一条斜线上！！！ { return false; } } return true; } void nQueen(int t) { v[t]=0; while(t>0) { v[t]+=1;//第t行，第v[t]+1列 while(!isOk(t)&&v[t]<=num)//列范围内，寻找符合条件的v[t]=j { v[t]+=1; } if(v[t]<=num)//找到 { if(t==num) { sum++;//找到后，下个循环v[t]会大于num，有t--处理 } else { t++; v[t]=0; } } else//未找到 { t--; } } } int main() { sum=0; cin>>num; for(int i=0;i<=num;i++) { v.push_back(0); } nQueen(1); cout<<sum<<endl; }
5.0-1背包问题
子集树
#include<iostream> #include<vector> #include<cstdlib> using namespace std; struct Node { int w; int p; }; vector<Node> v;//物品 vector<int> x;//当前方案 vector<int> bestx;//存储最佳方案 int num;//物品数 int c;//背包容量 int maxP;//最大价值 int random(int start,int end) { return start+rand()%(end-start); } void storage(int cp) { if(cp>maxP) { maxP=cp; for(int i=0;i<num;i++) { bestx[i]=x[i]; } } } void knapsack(int cw,int t,int cp) { if(t>=num) { return; } else { if(cw<=c) { for(int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if(i==1) { cw+=v[t].w; cp+=v[t].p; } if(cw<=c) { storage(cp); knapsack(cw,t+1,cp); } } } } } int main() { maxP=-1; cin>>num>>c; for(int i=0;i<num;i++) { Node temp; temp.w=random(1,20); temp.p=random(1,100); v.push_back(temp); x.push_back(0); bestx.push_back(0); } knapsack(0,0,0); cout<<maxP<<endl; }
6.最大团问题
子集树
#include<iostream> #include<vector> using namespace std; vector< vector<int> > v; vector<int> x; vector<int> bestx; int maxv;//最优解顶点个数 int num; void storage(int nowv) { if(nowv>maxv) { maxv=nowv; for(int i=0;i<num;i++) { bestx[i]=x[i]; } } } bool judge(int t)//是否都与t相连 { for(int i=0;i<t;i++) { if(x[i]==1&&v[t][i]==0) { return false; } } return true; } void MaxClique(int t,int nowv) { if(t>=num) { storage(nowv); } else { for(int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if(i==0) { MaxClique(t+1,nowv); } else if(i==1&&judge(t)) { MaxClique(t+1,nowv+1); } } } } int main() { maxv=-1; cin>>num; //初始化全无边 for(int i=0;i<num;i++) { vector<int> temp; for(int j=0;j<num;j++) { temp.push_back(0); } v.push_back(temp); x.push_back(-1); bestx.push_back(-1); } //输入边 while(true) { int x1,y1; if(cin>>x1>>y1) { v[x1][y1]=1; v[y1][x1]=1; } else { break; } } MaxClique(0,0); cout<<maxv<<endl; for(int i=0;i<num;i++) { if(bestx[i]==1) { cout<<i+1<<"\t"; } } cout<<endl; }
7.图的m着色问题
子集树，解空间子集树，不是非要往0-1二叉树上靠，也可以是m叉树
#include<iostream> #include<vector> using namespace std; vector< vector<int> > v; vector<int> x; int num; int m; int sum; bool judge(int t,int color) { for(int i=0;i<t;i++) { if(x[i]==color&&v[i][t]==1) { return false; } } return true; } void coloring(int t) { if(t>=num) { cout<<sum<<": "; for(int i=0;i<num;i++) { cout<<x[i]<<"\t"; } cout<<endl; sum++; } else { for(int i=0;i<m;i++) { x[t]=i; if(judge(t,i)) { coloring(t+1); } x[t]=0; } } } int main() { sum=0; cin>>num>>m; for(int i=0;i<num;i++) { vector<int> temp; for(int j=0;j<num;j++) { temp.push_back(0); } v.push_back(temp); x.push_back(-1); } while(true) { int x1,y1; if(cin>>x1>>y1) { v[x1][y1]=1; v[y1][x1]=1; } else { break; } } coloring(0); cout<<sum<<endl; }
8.旅行售货员问题
排列树
#include<iostream> #include<vector> #include<climits> #include<algorithm> #include<cstdlib> using namespace std; vector< vector<int> > v; vector<int> x; int num; int costbest; int random(int s,int e) { return s+rand()%(e-s); } int countDis() { int cost=0; for(int i=1;i<x.size();i++) { cost+=v[x[i-1]][x[i]]; } return cost+v[x[0]][x[x.size()-1]]; } void Bttsp(int firstcity,int t) { if(t>=num) { int costx=countDis(); if(costx<costbest) { costbest=costx; } } else { for(int i=t;i<num;i++) { if(x[0]==firstcity) { swap(x[t],x[i]); Bttsp(firstcity,t+1); swap(x[t],x[i]); } } } } int main() { costbest=INT_MAX; cin>>num; for(int i=0;i<num;i++) { vector<int> temp; for(int j=0;j<num;j++) { temp.push_back(0); } v.push_back(temp); x.push_back(i); } for(int i=0;i<num;i++) { for(int j=i+1;j<num;j++) { int temp=random(1,50); v[i][j]=temp; v[j][i]=temp; cout<<"v["<<i<<"]["<<j<<"]="<<temp<<endl; } } Bttsp(0,0); cout<<costbest<<endl; }
9.圆排列问题
排列树
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> #include<climits> #include<algorithm> using namespace std; vector<int> x; vector<int> r; int num; double disbest; double countDis(int a,int b) { return sqrt(pow(a+b+0.0,2)-pow(a-b+0.0,2)); } void circle(int t,double discost) { if(t>=num) { if(discost<disbest) { disbest=discost; } } else { for(int i=t;i<num;i++) { swap(x[t],x[i]); double temp; if(t+1==num) { temp=r[x[t]]; } else { temp=countDis(r[x[t]],r[x[t+1]]); } if(discost+temp<disbest) { circle(t+1,discost+temp); } swap(x[i],x[t]); } } } void change() { int temp=x[0]; for(int i=1;i<num;i++) { x[i-1]=x[i]; } x[num-1]=temp; } int main() { disbest=INT_MAX; cin>>num; for(int i=0;i<num;i++) { int temp; cin>>temp; r.push_back(temp); x.push_back(i); } for(int i=0;i<num;i++) { circle(0,r[x[0]]+0.0); change(); } cout<<disbest<<endl; }
