回溯法，参见之前的blog。
全排列：
全排列是将一组数按一定顺序进行排列，如果这组数有n个，那么全排列数为n!个。
从集合中依次选出每一个元素，作为排列的第一个元素，然后对剩余的元素进行全排列，如此递归处理，从而得到所有元素的全排列。
以对字符串abc进行全排列为例，我们可以这么做：以abc为例
固定a，求后面bc的排列：abc，acb，求好后，a和b交换，得到bac
固定b，求后面ac的排列：bac，bca，求好后，c放到第一位置，得到cba
固定c，求后面ba的排列：cba，cab。
这个思想和回溯法比较吻合。
代码可如下编写所示
// 回溯法搜索全排列树
#include<stdio.h>
#define M 20
int n;
int a[M];
int cnt = 0;// 记录全排列个数
void swap(int *a, int *b)//交换a,b
{
char t;
t = *a;
*a = *b;
*b = t;
}
void dfs(int cur)
{
int i;
if(cur == n)// 找到 输出全排列
{
++cnt;
for(i=0; i<n; i++)
printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
}
else
{
// 将集合中的所有元素分别与第一个交换，这样就总是在
// 处理剩下元素的全排列(即用递归)
for(i=cur; i<n; i++)
{
swap(&a[cur], &a[i]);
dfs(cur+1);
swap(&a[cur], &a[i]);//回溯
}
}
}
int main()
{
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
for(int i=0; i<n; i++)
a[i] = i+1;// 假设集合S为:1 2 3 ... n
cnt = 0;
dfs(0);
printf("count:%d\n", cnt);
}
return 0;
}
或者利用一个vis数组标识每个元素是否已经被访问，代码如下：
#include <stdio.h>
int a[10];
bool vis[10];
int n;//排列个数 n
void dfs(int dep) //打印所有的全排列，穷举每一种方案
{
if(dep == n)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
printf("%d ",a[i]);
}
printf("\n");
return ;
}
for(int i = 0; i < n; i++)// 找一个最小的未标记的数字，保证了字典序最小
{
if(!vis[i])
{
a[dep] = i+1;
vis[i] = true;// 找到了就标记掉，继续下一层
dfs(dep + 1);
vis[i] = false;
}
}
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n) != EOF)
{
dfs(0);
}
return 0;
}子集构造：
从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时，相应解空间树称为子集树。
求n个元素集合的子集，如A = {1, 2, 3}则A集合的子集有:
P(A) = {{1,2,3}, {1,2}, {1,3},{1},{2,3},{2},{3},{}}
采用位向量法，构造一个位向量vis[], vis[i] = 1 表示i在子集A中。
代码如下：
#include<stdio.h>
#define M 20
int n;
int a[M];
int vis[M];
int cnt = 0;// 记录子集个数
void dfs(int cur)
{
int i;
if(cur == n)// 找到 输出所有子集
{
++cnt;
int flag =1;
for(i=0; i<n; i++)
if(vis[i])
{
printf("%d ", a[i]);
flag = 0;
}
if(flag)//子集中的空集
printf("φ");
printf("\n");
}
else
{
for(i=1; i>=0; --i)//vis 中分为 选or不选即 1,0
{
vis[cur] = i;
dfs(cur+1);
}
}
}
int main()
{
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
for(int i=0; i<n; i++)
a[i] = i+1;// 假设集合S为:1 2 3 ... n
cnt = 0;
dfs(0);
printf("count:%d\n", cnt);
}
return 0;
}
此外可以采用采用增量构造法，
代码如下：
#include<stdio.h>
#define M 20
int n;
int a[M];
int vis[M];
int cnt = 0;// 记录子集个数
void subset(int cur, int A[])
{
int i;
++cnt;
if(0 == cur)//子集中的空集
printf("φ");
for(i=0; i<cur; ++i)// 打印当前集合
{
printf("%d ", A[i]);
}
printf("\n");
int min = cur ? A[cur-1]:0;//确定当前元素的最小可能值
for(i=min; i<n; ++i)
{
A[cur] = a[i];
subset(cur+1, A);//递归构造
}
}
int main()
{
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
for(int i=0; i<n; i++)
a[i] = i+1;// 假设集合S为:1 2 3 ... n
cnt = 0;
int A[M]={0};
subset(0, A);
printf("count:%d\n", cnt);
}
return 0;
}
参考资料：
算法竞赛入门经典
