概念

在第一型曲线积分我们知道，问题在于对 ds 的转化。无论是直接化还是通过参数方程进行，目的都是把曲线的微元化为可定义范围的参数或者是x,y。

第二型曲线积分，更多是考察格林公式，与路径无关，闭区域范围内的格林公式失效该怎么分割区域等。

求什么

OK,回到问题中来，一般的第二型曲线积分的长相是这样的：
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

首先需要一种感性认识，其次才是怎么分解这个问题，得到求解的基本思路。

从这个写法上看，是对一个曲线的路径的积分，两个函数分别与 dx 和 dy 相乘。也就是说，当沿着曲线游走的过程中， ds 是被分解了的，因此我们不必带着第一型曲线积分中求解系数的直觉去思考这个问题，而是以一种向量的角度去看待。
即： ds=(dx，dy) .
那么P,Q又是什么呢？
对的，也是一个向量。
不妨令平面中有一个力 F=(P(x,y),Q(x,y))
在曲线的每一点处，力的方向大小在变化，向量s方向大小也在变化。
我们取定一点的极小变化区间，求得F和s在这区间的向量积，是在这个空间微元内做的功。把走完这个曲线做的所有功积起来，便是所有的功，也即我们需要求的值。

这样解释，虽然赋予了这个式子以漂亮的物理意义，也能用在物理中进行功的求解，但是对于求解问题的思路看起来毫无帮助。

没关系，以上只是帮助建立一种感性的认识。

真正对计算有帮助的是下面的内容。

怎么求

基本题

在二维平面内，L的表达式是 x,y 互相限制的,因此我们常常能够找到这个关系，比如 y=y(x) ,于是 dy=y′(x)dx ,问题瞬间变成了一个简单的一元积分的求解。
变为： ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫ba(P(x,y(x))+Q(x,y(x)))dx,x∈(a,b)

我们知道,这和 x=x(t),y=y(t) 性质是一样的.只不过需要对t进行求积分。

技巧题

• 将边界方程代入求解
• 利用对称性求解
• 格林公式
  
  • 可直接利用，只需要单连通区域内P,Q有连续一阶偏导
  • 补线使之封闭，补的线易于求解
• 非封闭下，判定与路径无关，
  
  • 转换成简单路径计算
  • 化出 Pdx+Qdy 的原函数 F(x,y) , F(x2,y2)−F(x1,y1) 即可。其中 (x1,y1),(x2,y2) 分别为起点和终点。

说到这里越说越像是在背书。这不是我写文章的目的。

我想要的是建立一种感性的认识，以形成拿到问题就知道用什么方法的直觉。

具体的格林公式是什么，怎么补线，怎么判定是否与路径无关，统统不在讨论之列。

最后想特别补充的是：对于单连通区域中，偏导数不存在的点，我们的处理步骤。

一般这种题目，可以根据积分的区域，任意的划出一个小的区域，这个区域巧妙的利用自己设定的这个小区域的表达式，将积分化成了偏导数可以存在且连续的表达式，同时，对于小区域外部和大区域内部的环状区域，就可以使用格林公式了。如果，判定恰好是路径无关，那么环状区域的积分就变成了0，再计算小的区域的积分。

这里，对于我自己来说，我很多次看到这个小的积分区域，有些蒙，不知道该怎么办。实际上，还是再用格林公式！

其实，最后那句才是我写这篇总结的唯一原因。

以上。