回溯法的实质
回溯法可看作穷举法的一种实现方式
计算过程
每步只构造一个部分节并立即对此部分解进行评估。若此部分解有可能拓展为“所求解”，则继续扩展；反之此部分解不可能扩展为所求解，则继续尝试其他部分解。直到穷尽一切可能。
解空间与解空间树
描述回溯法时，可有两种解空间树选择。一是子集树，一是排列树。
解空间：所有可能的解构成的集合。
解空间树：将解空间组织成树结构。
子集树：每个解（x1，….，xn）的每个分量xi的值取自于一个集合Si，解空间大小为2的n次方；
排列树：每个解（x1，…，xn）都是集合S的全排列。解空间大小为n!
一般情况下，子集树优于排列树，因为n! >> 2的n次方（题目要采取哪种解空间，要具体视情况而定）
解题步骤
1）针对所给问题，定义问题的解空间；
2）确定易于搜索的解空间结构；
3）以深度优先方式搜索解空间树，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
框架
t：表示递归深度，即当前扩展节点在解空间树中的深度。
output()：纪录或输出结果的函数
constaint()：约束函数。返回值=true，则满足约束条件；返回值=false，可剪去相应子树。
bound()：限界函数。返回值=true，目标函数未越界，可用backtak(t+1)进一步搜索；返回值=false，可剪去相应子树。
一、子集树
1.递归回溯子集树的一般算法
void backtrack(int t){
if(t > n){
output(x);
}else {
for(int i = 0;i <= 1;i++){
x[t] = i;
if(constraint(t) && bound(t)){
backtrack(t+1);
}
}
}
}
2.递归回溯排列树的一般算法
因为是排列树，所以相当于当前的数不断地和后面的数交换，得到新的排列。
void backtrack(int t){
if(t > n){
output(x);
}else {
for(int i = t;i < n;i++){
swap(x[t],x[i]);
if(constraint(t) && bound(t)){
backtrack(t+1);
}
swap(x[t],x[i]);
}
}
}
例子
1、n皇后问题
描述：在nx格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行/同一列/同一斜线上的棋子。n后问题等价于在nxn格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一列/同一行/同一斜线。
解法一：
/**
* 递归版本
* 子集树来做n后问题
* 输出所有的排布方案和方案数量
*/
public class Queen1 {
public int sum;
/**
* 这个用1维数组存，设下标为i，i为行号，arr[i]为列号，表示第i行第j列的位置放了皇后
*/
private int[] arr;
public StringBuilder res;
private int n;
public void run(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
res = new StringBuilder();
arr = new int[n];
backtrack(0);
}
/**
* 回溯法法搜索子集树的一般算法
* @param layer layer为层数，即树的第x层，从0开始
*/
public void backtrack(int layer){
// 如果已经遍历到最后一层了，那说明前面的所有条件都满足，说明这是一个合格的序列，故保存
if(layer >= n){
update();
sum++;
return;
}
// 把第layer层给它从0-（n-1）的所有可能值，看看哪个满足
for(int i = 0;i < n;i++) {
arr[layer] = i;
if (bound(layer)) {
// 若满足，则继续填下一个
backtrack(layer + 1);
}
}
}
/**
* 判断是否满足，不满足则不要，这是限界。
* @param layer 目前的层数
* @return
*/
public boolean bound(int layer){
// 只有从0-（layer-1）层填了数，这是遍历arr[layer]的所有可能取值，不满足就false
for(int i = 0;i < layer;i++){
//for(int i = 0;i < n;i++){
// 共三个条件，不能在同一行同一列同一斜线
if(arr[i] == arr[layer]){
return false;
}
// 同一斜线判断用斜率就好
if((arr[i] - arr[layer] == (i - layer))){
return false;
}
if((arr[i] - arr[layer] == (layer - i))){
return false;
}
}
return true;
}
/**
* 纪录结果的函数
*/
public void update(){
for(int i = 0;i < n;i++){
res.append(arr[i] + " ");
}
res.append("\n");
}
}
解法二：
/**
* 对此题来说，用全排列好很多
* 后面的改造成1半也是跟Queen2的constraint函数相同
* 排列树来做n后问题
* 输出所有的排布方案和方案数量
*/
public class Queen3 {
public int sum;
private int[] arr;
public StringBuilder res;
private int n;
public void run(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
res = new StringBuilder();
arr = new int[n];
// 排列树来做，初始化要为n的有效排列之一，因为后面用的是swap来进行排列组合，如果刚开始不是一个n的一个排列，那后面也不会满足
for(int i = 0;i < n;i++){
arr[i] = i;
}
backtrack(0);
}
/**
* 回溯法法搜索子集树的一般算法
* @param layer layer为层数，即树的第x层，从0开始
*/
public void backtrack(int layer){
// 如果已经遍历到最后一层了，那说明前面的所有条件都满足，说明这是一个合格的序列，故保存
if(layer >= n){
update();
sum++;
return;
}
// 把layer后面的层一一跟layer层交换，得到全排列。
for(int i = layer;i < n;i++) {
swap(layer,i);
if (bound(layer)) {
// 若满足，则继续填下一个
backtrack(layer + 1);
}
swap(i,layer);
}
}
public void swap(int index1,int index2){
int temp = arr[index1];
arr[index1] = arr[index2];
arr[index2] = temp;
}
/**
* 判断是否满足，不满足则不要，这是限界。
* @param layer 目前的层数
* @return
*/
public boolean bound(int layer){
// 只有从0-（layer-1）层填了数，这是遍历arr[layer]的所有可能取值，不满足就false
for(int i = 0;i < layer;i++){
//for(int i = 0;i < n;i++){
// 共三个条件，不能在同一行同一列同一斜线
if(arr[i] == arr[layer]){
return false;
}
// 同一斜线判断用斜率就好
if((arr[i] - arr[layer] == (i - layer))){
return false;
}
if((arr[i] - arr[layer] == (layer - i))){
return false;
}
}
return true;
}
/**
* 纪录结果的函数
*/
public void update(){
for(int i = 0;i < n;i++){
res.append(arr[i] + " ");
}
res.append("\n");
}
}
解法三：
package com.lianup.suanfa.Backtrack;
import java.util.Scanner;
/**
* 迭代版本
* 子集树来做n后问题
* 输出所有的排布方案和方案数量
*/
public class Queen4 {
public int sum;
/**
* 这个用1维数组存，设下标为i，i为行号，arr[i]为列号，表示第i行第j列的位置放了皇后
*/
private int[] arr;
public StringBuilder res;
private int n;
public static void main(String[] args){
new Queen4().run();
}
public void run(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
res = new StringBuilder();
arr = new int[n];
backtrack();
System.out.println(sum);
}
/**
* 回溯法法搜索子集树的一般算法
*/
public void backtrack(){
int layer = 0;
arr[layer] = -1;
// 当layer为-1时，说明不存在满足条件的解了，说明遍历完成
while(layer > -1) {
//移到下一列
arr[layer]+=1;
// 如果不满足条件
while (arr[layer] < n && !bound(layer)) {
arr[layer] += 1;
}
// 如果找到了满足条件的值
if(arr[layer] < n){
// 若为此层的最后一个皇后，就纪录结果
if(layer == n - 1){
update();
sum++;
}else {
// 否则，继续遍历下一个皇后
layer++;
// 之前这里设置成了0，是错的，因为要为-1，后面才能满足arr[layer]++=1；
arr[layer] = -1;
}
// 找不到满足条件的值就回溯
}else {
layer--;
}
}
}
/**
* 判断是否满足，不满足则不要，这是限界。
* @param layer 目前的层数
* @return
*/
public boolean bound(int layer){
// 只有从0-（layer-1）层填了数，这是遍历arr[layer]的所有可能取值，不满足就false
for(int i = 0;i < layer;i++){
//for(int i = 0;i < n;i++){
// 共三个条件，不能在同一行同一列同一斜线
if(arr[i] == arr[layer]){
return false;
}
// 同一斜线判断用斜率就好
if((arr[i] - arr[layer] == (i - layer))){
return false;
}
if((arr[i] - arr[layer] == (layer - i))){
return false;
}
}
return true;
}
/**
* 纪录结果的函数
*/
public void update(){
for(int i = 0;i < n;i++){
res.append(arr[i] + " ");
}
res.append("\n");
}
}
2、0-1背包问题
public class Package1 {
int[][] element; // 物品，element[i][0]为重量，1为价值
int n;
int[] choose; //是否选择该物品
int c; // 背包容量
boolean hasRes; // 是否有结果
int bestV; // 最优值（上界）
int curW; //目前的已装入背包的重量
int curV; // 目前装入背包的所有物品总价值
public static void main(String[] args){
new Package1().run();
}
public void run(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
c = scanner.nextInt();
choose = new int[n];
element = new int[n][n];
curW = 0;
curV = 0;
hasRes = false;
bestV = 0;
for(int i = 0;i < n;i++){
int w= scanner.nextInt();
int v = scanner.nextInt();
element[i][0] = w;
element[i][1] = v;
}
// 把其按单价从高到低排序
Arrays.sort(element, new Comparator<int[]>() {
@Override
public int compare(int[] o1, int[] o2) {
double a = o1[1]/(double)o1[0];
double b = o2[1]/(double)o2[0];
if(b > a){
return 1;
}
if(b == a){
return 0;
}
return -1;
}
});
backtrack(0);
System.out.println("all value:" + bestV);
System.out.println(Arrays.toString(choose));
}
public void backtrack(int t){
if(t >= n){
hasRes = true;
bestV = curV;
return;
}
if(curW + element[t][0] <= c){
// 回溯解空间树的左子树
curW += element[t][0];
curV += element[t][1];
choose[t] = 1;
backtrack(t+1);
curW -= element[t][0];
curV -= element[t][1];
}
// 若其最大可能值大于上一次回溯的最优值，那么就让它继续回溯
// 即，右子树可能包含最优解时，才进入，否则剪枝
if(constraint(t+1) > bestV){
backtrack(t+1);
}
}
public int constraint(int t){
int leftw = c - curW;
int b = curV;
while(t < n && element[t][0] <= leftw){
leftw += element[t][0];
b += element[t][1];
t++;
}
return b;
}
}
