回溯法——n皇后问题

问题描述

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击同一行、同一列、同一斜线上的棋子。
求n×n格的棋盘上彼此不受攻击的n个皇后的摆法。

下图为4皇后问题的一个解：

         图1

解空间

用一维数组x表示n皇后问题的解（数组下标从1开始）。

其中，x[n]表示第n行的皇后放在第x[n]列。

图1所对应的数组x为 { 2, 4, 1, 3 }。

算法思想

1. 逐行放置皇后，对n行，每行放置一个皇后。因此，n个皇后的行不会相同。
2. 但是，列可能相同，或者放置的皇后会出现在之前放置好的皇后的对角线上。
3. 所以，放置皇后时，对每一行，遍历每一列，判断该位置是否和先前放置好的皇后位置冲突，若不冲突，放置皇后。

算法代码

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int n;
int x[1000];

//判断能否放入该位置，即是否和现有的皇后位置冲突，若不冲突，表示可以放置
bool canPlace(int t){
    for(int i = 1; i < t; i++){   //逐个逐个和现有的皇后比较
        if(x[i] == x[t] || abs(t - i) == abs(x[t] - x[i])){  //列相等或在对角线上
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void backtrack(int t){  //第t层，即第一行
    if(t > n){
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            cout<<x[i]<<" ";
        }
        cout<<endl;
        return;
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++){   //从第一列到最后一列，逐个逐个试
        x[t] = i;
        if(canPlace(t)){
            backtrack(t + 1);
        }
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    backtrack(1);
    return 0;
}

运行效果