Nearly every one have used the Multiplication Table. But could you find out the k-th smallest number quickly from the multiplication table?

Given the height m and the length n of a m * n Multiplication Table, and a positive integer k, you need to return the k-th smallest number in this table.

Example 1:

Input: m = 3, n = 3, k = 5
Output: 
Explanation: 
The Multiplication Table:
1	2	3
2	4	6
3	6	9

The 5-th smallest number is 3 (1, 2, 2, 3, 3).

Example 2:

Input: m = 2, n = 3, k = 6
Output: 
Explanation: 
The Multiplication Table:
1	2	3
2	4	6

The 6-th smallest number is 6 (1, 2, 2, 3, 4, 6).

Note:

1. The m and n will be in the range [1, 30000].
2. The k will be in the range [1, m * n]

这道题跟之前那道Kth Smallest Element in a Sorted Matrix没有什么太大的区别，这里的乘法表也是各行各列分别有序的。那么之前帖子里的方法都可以拿来参考。之前帖子中的解法一在这道题中无法通过OJ，维护一个大小为k的优先队列实在是没有利用到这道题乘法表的特点，但是后两种解法都是可以的。为了快速定位出第K小的数字，我们采用二分搜索法，由于是有序矩阵，那么左上角的数字一定是最小的，而右下角的数字一定是最大的，所以这个是我们搜索的范围，然后我们算出中间数字mid，由于矩阵中不同行之间的元素并不是严格有序的，所以我们要在每一行都查找一下mid，由于乘法表每行都是连续数字1，2，3…乘以当前行号（从1开始计数），所以我们甚至不需要在每行中使用二分查找，而是直接定位出位置。具体做法是，先比较mid和该行最后一个数字的大小，最后一数字是n * i，i是行数，n是该行数字的个数，如果mid大的话，直接将该行所有数字的个数加入cnt，否则的话加上mid / i，比如当前行是2, 4, 6, 8, 10，如果我们要查找小于7的个数，那么就是7除以2，得3，就是有三个数小于7，直接加入cnt即可。这样我们就可以快速算出矩阵中所有小于mid的个数，根据cnt和k的大小关系，来更新我们的范围，循环推出后，left就是第K小的数字，参见代码如下：

解法一：

 class Solution {
 public:
     int findKthNumber(int m, int n, int k) {
         int left = 1, right = m * n;
         while (left < right) {
             int mid = left + (right - left) / 2, cnt = 0;
             for (int i = 1; i <= m; ++i) {
                 cnt += (mid > n * i) ? n : (mid / i);
             }
             if (cnt < k) left = mid + 1;
             else right = mid;
         }
         return right;
     }
 };

下面这种解法在统计小于mid的数字个数的方法上有些不同，并不是逐行来统计，而是从左下角的数字开始统计，如果该数字小于mid，说明该数字及上方所有数字都小于mid，cnt加上i个，然后向右移动一位继续比较。如果当前数字小于mid了，那么向上移动一位，直到横纵方向有一个越界停止，其他部分都和上面的解法相同，参见代码如下：

解法二：

 class Solution {
 public:
     int findKthNumber(int m, int n, int k) {
         int left = 1, right = m * n;
         while (left < right) {
             int mid = left + (right - left) / 2, cnt = 0, i = m, j = 1;
             while (i >= 1 && j <= n) {
                 if (i * j <= mid) {
                     cnt += i;
                     ++j;
                 } else {
                     --i;
                 }
             }
             if (cnt < k) left = mid + 1;
             else right = mid;
         }
         return right;
     }
 };

下面这种解法由网友bambu提供，是对解法二的优化，再快一点，使用除法来快速定位新的j值，然后迅速算出当前行的小于mid的数的个数，然后快速更新i的值，这比之前那种一次只加1或减1的方法要高效许多，感觉像是解法一和解法二的混合体，参见代码如下：

解法三：

 class Solution {
 public:
     int findKthNumber(int m, int n, int k) {
        int left = 1, right = m * n;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2, cnt = 0, i = m, j = 1;
            while (i >= 1 && j <= n) {
                 int t = j;
                 j = (mid > n * i) ? n + 1 : (mid / i + 1);
                 cnt += (j - t) * i;
                 i = mid / j;
             }
            if (cnt < k) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        return right;
     }
 };

类似题目：

Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

Find K-th Smallest Pair Distance

参考资料：

https://discuss.leetcode.com/topic/101194/my-8-lines-c-solution

https://discuss.leetcode.com/topic/101132/java-solution-binary-search