Tags: backTracking(回溯法)

   http://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/16067319   

           http://www.cnblogs.com/chinazhangjie/archive/2010/10/22/1858410.html 

           http://blog.csdn.net/chinajane163/article/details/48969353

具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。（回溯法 = 穷举 +　剪枝）

回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

        回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

        问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。

       当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

       它有“通用解题法”之美誉。

二. 回溯法实现 – 递归和递推（迭代）                               

        回溯法的实现方法有两种：递归和递推（也称迭代）。一般来说，一个问题两种方法都可以实现，只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
      【类比于图深度遍历的递归实现和非递归（递推）实现】

1. 递归

        思路简单，设计容易，但效率低，其设计范式如下：

[cpp] 
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1. //针对N叉树的递归回溯方法  
2. void backtrack (int t)  
3. {  
4. if (t>n) output(x); //叶子节点，输出结果，x是可行解  
5. else  
6. for i = 1 to k//当前节点的所有子节点  
7. {  
8. x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x  
9. //满足约束条件和限界条件  
10. if (constraint(t)&&bound(t))   
11. backtrack(t+1);  //递归下一层  
12. }  
13. } 

2. 递推

      算法设计相对复杂，但效率高。

[cpp] 
view plain
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1. //针对N叉树的迭代回溯方法  
2. void iterativeBacktrack ()  
3. {  
4.     int t=1;  
5.     while (t>0) {  
6.         if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点  
7.         {  
8.             for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点  
9.             {  
10.                 x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x  
11.                 if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件   
12.                 {  
13.                     //solution表示在节点t处得到了一个解  
14.                     if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解，输出  
15.                     else t++;//没有得到解，继续向下搜索  
16.                 }  
17.             }  
18.         }  
19.         else //不存在子节点，返回上一层  
20.         {  
21.             t–;  
22.         }  
23.     }  
24. }  

三. 子集树和排列树                                                        

1. 子集树

       所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。

       回溯法搜索子集树的算法范式如下：

[cpp] 
view plain
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1. void backtrack (int t)  
2. {  
3.   if (t>n) output(x);  
4.     else  
5.       for (int i=0;i<=1;i++) {  
6.         x[t]=i;  
7.         if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
8.       }  
9. }<span style=“font-family:SimHei;”>  
10. </span>  

2. 排列树

      所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。
      回溯法搜索排列树的算法范式如下：

[cpp] 
view plain
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1. <span style=“font-size:18px;”>void backtrack (int t)  
2. {  
3.   if (t>n) output(x);  
4.     else  
5.       for (int i=t;i<=n;i++) {  
6.         swap(x[t], x[i]);  
7.         if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
8.         swap(x[t], x[i]);  
9.       }  
10. } </span><span style=“font-family:SimHei;font-size:24px;”>  
11. </span>  

四. 经典问题                                    

（1）装载问题
（2）0-1背包问题
（3）旅行售货员问题
（4）八皇后问题
（5）迷宫问题
（6）图的m着色问题

本题的代码：

class Solution {
public:
	vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
		vector<vector<int>> res;
		vector<int> preCom;
		int size = candidates.size();
		backTracking(candidates, target, 0, preCom, res, size, 0);
		return res;
	}
	void backTracking(vector<int>& candidates, int target, int preSum, vector<int>& preCom, vector<vector<int>>& res, int& size, int ind){
		for (int i = ind; i < size; ++i){
			int tmp = preSum + candidates[i];
			if (tmp <= target){
				preCom.push_back(candidates[i]);
				if (tmp == target)
					res.push_back(preCom);
				if (tmp < target)
					backTracking(candidates, target, tmp, preCom, res, size, i);
				preCom.pop_back();
			}
		}
	}
};