一、定义

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种优先搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

二、基本思想

    在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

    若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

    而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束

三、步骤

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

        首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

四、算法框架

（1）问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

（2）非递归回溯框架

   int a[n],i;
   初始化数组a[];
   i = 1;
   while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头
   {
       if(i > n) // 搜索到叶结点
       {   
             搜索到一个解，输出；
       }
       else// 处理第i个元素
       { 
             a[i]第一个可能的值；
             while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
             {
                 a[i]下一个可能的值；
             }
             if(a[i]在搜索空间内)
            {
                 标识占用的资源；
                 i = i+1; // 扩展下一个结点
            }
            else 
           {
                 清理所占的状态空间；// 回溯
                 i = i –1; 
            }
  }

（3）递归的算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

int a[n];

    try(int i)
    {
        if(i>n)
           输出结果;
         else
        {
           for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径
           {
          if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件
            {
               a[i] = j;
             ...                         // 其他操作
               try(i+1);
             回溯前的清理工作（如a[i] 置空值等）;
             }
        }
    }
  }
    

五、实例

    01背包问题:假设我们有n件物品，分别编号为1, 2…n。其中编号为i的物品价值为vi，它的重量为wi。为了简化问题，假定价值和重量都是整数值。现在，假设我们有一个背包，它能够承载的重量是W。现在，我们希望往包里装这些物品，使得包里装的物品价值最大化，那么我们该如何来选择装的东西呢？

    背包问题可看做是一种回溯：每个包是一个节点， 节点共有2个候选值0、1 。 0代表不放人背包中， 1代表放入背包中。

因此，背包问题就转换为找到满足条件的路径问题。

class Program
    {
        static int n, c, bestp;//物品个数，背包容量，最大价值
        static int[] p = new int[10000];//物品的价值
        static int[] w = new int[10000];//物品的重量
        static int[] x = new int[10000];//x[i]暂存物品的选中情况
        static int[] bestx = new int[10000];//物品的选中情况 选中1，不选择0
        static void Main(string[] args)
        {
            n = 5;c = 15;
            p[0] = 4;w[0] = 12;
            p[1] = 2;w[1] = 1;
            p[2] = 2;w[2] = 2;
            p[3] = 1;w[3] = 1;
            p[4] = 10;w[4] = 4;
            Backtrack(1, 0, 0);
            Console.WriteLine(bestp);
            for (int i = 0; i <5; i++)
            {
                Console.WriteLine(bestx[i]);
            }
            Console.ReadKey();
        }
        
        static void Backtrack(int i, int cp, int cw)
        {
            //i 第i种物品 cw 当前背包内物品重量，cp 当前背包内物品价值
            int j;
            if (i > n)//当前搜索物品序号大于物品总个数，则回溯结束
            {
                if (cp > bestp)
                {
                    bestp = cp;
                    for (i = 0; i <= n; i++)
                    {
                        bestx[i] = x[i];
                    }
                }
            }
            else
            {
                for (j = 0; j <=1; j++)
                {
                    x[i] = j;
                    if (cw + x[i] * w[i] <= c)
                    {
                        cw += x[i] * w[i];
                        cp += p[i] * x[i];
                        Backtrack(i + 1, cp, cw);
                        cw -= w[i] * x[i];
                        cp -= p[i] * x[i];
                    }
                }
            }
        }
    }