最近在做两幅图像间单应性矩阵估计的研究，遇到LM（Levenberg-Marquardt）算法求极值，在查找资料的过程中发现它兼具梯度下降、与牛顿法的特点，遂逐层抽丝剥茧，现总结牛顿法。
一维牛顿法解方程
求函数f(x)的根。复杂方程的根很难直接求得，最开始用牛顿法迭代来求方程的根。
方法是给一个初值x1，在x1处用一阶泰勒展式（为什么用一阶泰勒展式这里需要弄懂泰勒展式之后再来解释？？？）来近似表示函数f(x)见公式（1）。
f(x) = f(x1) + f’(x1)(x – x1) (1)
将f(x) = 0带入公式(1)，求得交点x = x1 – f(x1)/f’(x1)，这个x点并不是函数f(x)的根，但是距离真正的根更近了一点，如图1所示。
将上一步所求的x值作为x2值，在x2值处用一阶泰勒展式见公式(2)。
f(x) = f(x2) + f’(x2)(x – x2) (2)
将f(x) = 0带入公式(2)，求得交点x = x2 – f(x2)/f’(x2)，依次迭代进而推出公式(3)。
x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f’(x(n)) （3）
最终求得的x值变化小于一个阈值就认为这个x值是函数f(x)的近似根。一维牛顿法求极值
牛顿法用于求函数极值。对于f(x)的极值点也就是求f’(x)的根，那么也就是如上面介绍的求f’(x)=0的根。给定初值x1，在x1处用二阶泰勒展式见公式(4)。
f(x) = f(x1) + f’(x1)(x – x1) + 1/2f’’(x1)(x-x1)^2 (4)
对f(x)求导，令f’(x) = 0, 得x = x1 – f’(x1)/f’’(x1)，依次迭代得
x(n+1)= x(n) – f’(x(n) )/f’’(x(n) )。多维牛顿法求根
以上讨论的都是二维向量的情况，下面介绍当因变量X=(x1,x2,x3 … xn)一个向量时的求解，对多维向量进行泰勒展式:
令一阶泰勒为0得到：
整理：
假定方程组由一系列方程{f1=0, f2=0, …, fn=0}组成，可以将上式整理为矩阵形式：
n个未知数所以有n组方程才能求得n个未知数。
上式中的n*n矩阵为雅可比矩阵(Jacobian Matrix)，简记为J(F)。同时，将自变量(x1,…,xn)记为X，将(t1,…,tn)记为T，将(f1,…,fn)记为F，则有：
化简后可得：
将方程组的解写为迭代形式，即可得到适用于方程组求解的牛顿法迭代公式：
多维牛顿法求极值
