一、0-1背包问题的描述

下面将使用回溯法、分支界限法、动态规划法来分析和解决此问题。

二、回溯法

（1）算法步骤

（2）代码如下（没有裁剪函数）：

用i和n来判断结束与否，是因为解空间结构是完全二叉树，用两节点间的边的深度表示物品序号，用两节点之间的边的01值表示该物品选择与否。

#include<stdio.h>
int n, c, bestp;//物品的个数，背包的容量，最大价值
int p[10000], w[10000], x[10000], bestx[10000];//物品的价值，物品的重量，x[i]暂存物品的选中情况,物品的选中情况

void Backtrack(int i, int cp, int cw)
{ //cw当前包内物品重量，cp当前包内物品价值
	int j;
	if (i>n)//回溯结束
	{
		if (cp>bestp)
		{
			bestp = cp;
			for (i = 0; i <= n; i++)//这里从0开始也无妨，因为后面输出是从1开始的 
				bestx[i] = x[i];
		}
	}
	else
		for (j = 0; j <= 1; j++)
		{
			x[i] = j;
			if (cw + x[i] * w[i] <= c)
			{
				cw += w[i] * x[i];
				cp += p[i] * x[i];
				Backtrack(i + 1, cp, cw);
				cw -= w[i] * x[i];
				cp -= p[i] * x[i];
			}
		}
}

int main()
{
	int i;
	bestp = 0;
	printf("请输入背包最大容量:\n");
	scanf("%d", &c);
	printf("请输入物品个数:\n");
	scanf("%d", &n);
	printf("请依次输入物品的重量:\n");
	for (i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &w[i]);
	printf("请依次输入物品的价值:\n");
	for (i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &p[i]);
	Backtrack(1, 0, 0);
	printf("最大价值为:\n");
	printf("%d\n", bestp);
	printf("被选中的物品依次是(0表示未选中，1表示选中)\n");
	for (i = 1; i <= n; i++)
		printf("%d ", bestx[i]);
	printf("\n");
	getchar(); getchar();
	return 0;
}

2、动态规化

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>

int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a, int b)  //一个大小比较函数，用于当总重大于第I行时 
{
	if (a >= b)
		return a;
	else return b;
}

void Knap(int n, int w[], int v[], int x[], int C)
{
	int i, j;
	for (i = 0; i <= n; i++)
		V[i][0] = 0;
	for (j = 0; j <= C; j++)//j居然是离散的
		V[0][j] = 0;
	for (i = 0; i <= n - 1; i++)
		for (j = 0; j <= C; j++)
			if (j<w[i])
				V[i][j] = V[i - 1][j];
			else
				V[i][j] = max(V[i - 1][j], V[i - 1][j - w[i]] + v[i]);

	//输出相应的选择物品
	j = C;
	for (i = n - 1; i >= 0; i--)
	{
		if (V[i][j]>V[i - 1][j])
		{
			x[i] = 1;
			j = j - w[i];
		}
		else
			x[i] = 0;
	}
	printf("选中的物品是:\n");
	for (i = 0; i<n; i++)
		printf("%d ", x[i]);
	printf("\n");

}

int main()
{
	int s;//获得的最大价值
	int w[4];//物品的重量   重量  价值  和物品的状态 均对应着存到数组中，物品从1开始。 
	int v[4];//物品的价值
	int x[4];//物品的选取状态   选中则是1  没选中为0 
	int n, i;
	int C;//背包最大容量
	n = 4;
	printf("请输入背包的最大容量:\n");
	scanf("%d", &C);

	printf("物品数:\n");
	scanf("%d", &n);
	printf("请分别输入物品的重量:\n");
	for (i = 0; i<n; i++)
		scanf("%d", &w[i]);

	printf("请分别输入物品的价值:\n");
	for (i = 0; i<n; i++)
		scanf("%d", &v[i]);

	Knap(n, w, v, x, C);

	printf("最大物品价值为:\n");
	printf("%d\n", s);
	system("pause");
	return 0;
}