算法原理
允许同一数据属于多个不同的类。该算法(developed by Dunn in 1973 and improved by Bezdek in 1981)经常用于模式识别，基于最小化

下列目标函数：

      ,    

其中， m 是大于1的实数，u_ij 是x_i 属于类别 j隶属度， x_i 第i个测量到的d维数据, c_j 是类j的聚类中心，||*|| 表示任一测量数据与聚类

中心的相似度。

Fuzzy partitioning is 通过下列两式的更新迭代来使得上述目标函数达到极小：

      ,    

当,时迭代停止，0< <1是迭代终止参数，k是迭代轮数。该过程收敛到J_m的一个极小值。

算法由下列步骤组成：

说明
如前所述，数据属于某个类是由隶属度函数确定的，这正是该算法的模糊行为的体现。在该算法中用一个由0和1之间元素组成的矩阵表达

对象与类别的隶属关系。
举一个一维的例子来说，给定一个特定数据集，分布如下图：

从图中可以很容易分辨出两类数据，分别表示为‘A’ and ‘B’. 利用前述的k-means 算法，每个数据关联一个特定的质心，隶属度函数

如下所示：

利用FCM 算法，同一个数据并不单独属于一个分类，而是可以出现在中间。在这个例子中，隶属函数变得更加平滑，表明每个数据

可能属于几个分类。

上图中，红色点表示的数据更可能属于类别B，而不是A， ‘m’ 的值0.2表明了数据对A的隶属程度。现在，不用图表示，我们引入

一个矩阵，其元素取自隶属函数：

(a)                                   (b)

矩阵的行数和列数取决于数据和类别的个数，确切的说，行数表示数据个数，列数表示类别个数，矩阵元素表示为 u_ij.
上面的例子中，我们考虑了k-means (a) and FCM (b) 的例子，可以看出在第一个例子(a) 中的稀疏总是二值，表明每个数据只能属于一个

分类，其他属性表示如下：

参考文献

• J. C. Dunn (1973): “A Fuzzy Relative of the ISODATA Process and Its Use in Detecting Compact Well-Separated Clusters”,
• Journal of Cybernetics 3: 32-57
• J. C. Bezdek (1981): “Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algoritms”, Plenum Press, New York
• Tariq Rashid: “Clustering”
  http://www.cs.bris.ac.uk/home/tr1690/documentation/fuzzy_clustering_initial_report/node11.html
• Hans-Joachim Mucha and Hizir Sofyan: “Nonhierarchical Clustering”
  http://www.quantlet.com/mdstat/scripts/xag/html/xaghtmlframe149.html