For an integer n, we call k>=2 a good base of n, if all digits of n base k are 1.
Now given a string representing n, you should return the smallest good base of n in string format.
Example 1:
Input: "13" Output: "3" Explanation: 13 base 3 is 111.
Example 2:
Input: "4681" Output: "8" Explanation: 4681 base 8 is 11111.
Example 3:
Input: "1000000000000000000" Output: "999999999999999999" Explanation: 1000000000000000000 base 999999999999999999 is 11.
Note:
- The range of n is [3, 10^18].
- The string representing n is always valid and will not have leading zeros.
这道题让我们求最小的好基数,定义了一个大于等于2的基数k,如果可以把数字n转化为各位都是1的数,那么就称这个基数k是好基数。通过看题目中的三个例子,应该大致可以理解题意了吧。如果我们用k表示基数,m表示转为全1数字的位数,那么数字n就可以拆分为:
n = 1 + k + k^2 + k^3 + … + k^(m-1)
这是一个等比数列,中学数学的内容吧,利用求和公式可以表示为 n = (k^m – 1) / (k – 1)。我们的目标是求最小的k,那么仔细观察这个式子,在n恒定的情况,k越小则m却大,那么就是说上面的等式越长越好。下面我们来分析m的取值范围,题目中给了n的范围,是[3, 10^18]。那么由于k至少为2,n至少为3,那么肯定至少有两项,则m>=2。那么m的上限该如何求?其实也不难,想要m最大,那么k就要最小,k最小是2,那么m最大只能为log2(n + 1),数字n用二进制表示的时候可拆分出的项最多。但这道题要求变换后的数各位都是1,那么我们看题目中最后一个例子,可以发现,当k=n-1时,一定能变成11,所以实在找不到更小的情况下就返回n-1。
下面我们来确定k的范围,由于k至少为2,那么我们可以根据下面这个不等式来求k的上限:
n = 1 + k + k^2 + k^3 + … + k^(m-1) > k^(m-1)
解出k < n^(1 / (m-1)),其实我们也可以可以通过n < k^m – 1 来求出k的准确的下限,但由于是二分查找法,下限直接使用2也没啥问题。分析到这里,那么解法应该已经跃然纸上了,我们遍历所有可能的m值,然后利用二分查找法来确定k的值,对每一个k值,我们通过联合m值算出总和sum,然后跟n来对比即可,参见代码如下:
class Solution { public: string smallestGoodBase(string n) { long long num = stol(n); for (int i = log(num + 1) / log(2); i >= 2; --i) { long long left = 2, right = pow(num, 1.0 / (i - 1)) + 1; while (left < right) { long long mid = left + (right - left) / 2, sum = 0; for (int j = 0; j < i; ++j) { sum = sum * mid + 1; } if (sum == num) return to_string(mid); else if (sum < num) left = mid + 1; else right = mid; } } return to_string(num - 1); } };
参考资料:
https://discuss.leetcode.com/topic/76425/concise-c-binary-search-solution
https://discuss.leetcode.com/topic/78148/java-o-logn-2-binary-search-solution
https://discuss.leetcode.com/topic/76347/3ms-ac-c-long-long-int-binary-search