循环码的概念及性质：
在描述循环码之前，先看以下例子。设(7，4)汉明码C的生成矩阵和校验矩阵为：
于是可以得到相应的16个码组：
(1000101)(0001011)(0010110)(0101100)(1011000)(0110001)(1100010)(0100111)(1001110)(0011101)(0111010)(1110100)(1101001)(1010011)(1111111)(0000000)
由上述这些码组可以看到，如果是C的码组，则它的左右移位都是C的码组，具有这种特性的线性分组码称为循环码。
循环码具有以下一些性质：
??? 1、封闭性(线性性)。任何许用码组的线性和还是许用码组。由此性质可以知：线性码都包含全零码。且最小码重就是最小码距。
??? 2、循环性。任何许用的码组循环移位后的码组还是许用码组。
循环码可以用多项式来表示。为了用代数理论的方法研究循环码的特性，我们经常将循环码表示成码多项式的形式：通常将码的码多项式定义如下：
其中，D、。
这里，GF(2)表示2元域，在GF(2)内只有两种元素0，1，且0、1满足如下的加法和乘法运算规则：1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0；1×1=1、1×0=0、0×0=0、0×1=0。例如(1011000)码的多项式表示为
循环码的生成多项式：(返回)
n和生成多项式构成。其中g(D)是一个能除尽的n-k阶多项式。阶数低于n并能被g(D)除尽的一组多项式就构成一个(n，k)循环码。也就是说，阶数小于n-1且能被g(D)除尽
的每个多项式都是循环码的许用码组。例如，(7，4)循环码的生成多项式，则阶数低于n-1能被g(D)除尽的多项式为
，其中。
假设，则对应的循环码多项式为
????????????????
则对应的循环码组为(1111111)。
我们知道，循环码中任何码组的循环移位还是许用码组。用多项式的形式表示为：
码组，经过移位位，可得到码组
???
则可以证明得到(证明略)：
?，即
??? 例如，(7，4)循环码(1000101)的码多项式为，移位1位后变成
????? ，将它被除，得到
?????
因此，循环左移一位的余式为，其相对应的码组为(0001011)，正好是(1000101)循环左移一位的结果。
??? 另一个重要的结论是，(n，k)循环码的生成多项式一定是的因式，即????? 。反之，如果是一个n-k次多项式，且能除尽，则此一定生成一个(n，k)循环码。(证明略)
为寻找生成多项式，必须对因式分解。因式分解可以通过计算机分解的方式分解，也可以通过查表(通常一些参考书已给出了这种因式分解的表格)。例如，可分解为；(7，4)循环码的生成多项式可以选择或；而(7，3)循环码的生成多项式可以选择或；(7，6)循环码的生成多项式为D+1，实际上就是简单的偶校验码
循环码的生成矩阵与监督矩阵：
g(D)的倍式，且根据线性码的生成矩阵的特性，(n，k)码的生成矩阵实际上可以由(n，k)码中k个不相关的码组构成。因此，根据以上两点，我们可以挑选出k个循环码组的码多项式如下：
1、非系统码的生成矩阵
????????????????????? (非系统码的生成矩阵)
输入信息码元为时，相应的循环码组多项式为：
?????
?????
由上式得到的码组不是系统码。系统码的生成矩阵必须为典型形式[Ik,Q]。其中Ik为单位矩阵。例如，已知(7，4)循环码的生成多项式为，可按下面的推导过程求出非系统码生成矩阵。
因为，
所以，
2、?
系统码可定义为，(n，k)系统码的码组中前k个比特是信息比特，后n-k个比特是循环监督位。那么在已知生成多项式g(D)时，如何构造系统码的生成矩阵呢？在系统码中，码组应该具备如下的形式：
??
???????
???????
其中，的次数小于等于n－k－1。
实际上，上式表示了如何生成系统码，即将信息码多项式升n-k次，然后以g(D)为模，求出余式r(D)。我们仍然以(7，4)码为例，已知(7，4)系统循环码的生成多项式为，求其系统码的生成矩阵。系统码的生成矩阵形式肯定是典型形式[Ik,Q]，因此我们选择信息多项式为、1。将提升n－k=3次，得到，求除以g(D)的余式得到
因此，系统生成矩阵为
表示成矩阵形式，得到
??? 循环码的监督矩阵可以由下述方法得到。由于g(D)能除尽，即
??????????????? (*)
这里，称为生成多项式，称为监督多项式，。由(*式)可知：
所以，如果生成矩阵是
则监督矩阵为：
它完全由的系数确定。可以看到，上述两者满足。例如，已知(7，3)码的生成多项式为，求生成矩阵和监督矩阵如下：
因为监督多项式为
所以，
监督矩阵为，可以验证。
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