1.概念

梯度下降是干什么的？

它的主要目的就是通过迭代找到目标函数的最小值。

2.梯度下降算法的基本思想

2.1场景假设

我们从一个下山的场景先来理解一下梯度下降算法的基本思想：

假设这样一个场景：一个人被困在山上，需要从山上下来(找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。

具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

2.2梯度下降算法的理解

梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。

首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山底。根据之前的场景假设，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！

因为梯度的方向就是函数变化最快的方向，所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。

小知识：那么为什么梯度的方向就是最陡峭的方向呢？

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

接下来，我们从微分开始讲起：

2.2.1微分

1.微分是什么，如何理解？

可以有不同的角度，最常用的两种是：

• 函数图像中，某点的切线的斜率

• 函数的变化率

2.微分的例子

# 单变量的微分：

# 多变量的微分（即分别对每个变量进行求微分）：

2.2.2梯度

梯度实际上就是多变量微分的一般化。

例如：

我们可以看到，梯度就是分别对每个变量进行微分，然后用逗号分割开，梯度是用<>包括起来，说明梯度其实一个向量。

梯度的意义：

• 在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率
• 在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向

所以这也就说明了为什么我们需要千方百计的求取梯度！我们需要到达山底，就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方，梯度就恰巧告诉了我们这个方向。

梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向，那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向，这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的方向一直走，就能走到局部的最低点！

3.梯度下降算法的数学解释

下面我们就开始从数学上解释梯度下降算法的计算过程和思想！

此公式的意义是：

J是关于Θ的一个函数，我们当前所处的位置为Θ0点，要从这个点走到J的最小值点，也就是山底。首先我们先确定前进的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距离的步长，也就是α，走完这个段步长，就到达了Θ1这个点！

下面就这个公式的几个常见的疑问：

• α是什么含义？
  α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要步子跨的太大，其实就是不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！

• 为什么要梯度要乘以一个负号？
  梯度前加一个负号，就意味着朝着梯度相反的方向前进！我们在前文提到，梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！而我们需要朝着下降最快的方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号

4.梯度下降算法的实例

我们已经基本了解了梯度下降算法的计算过程，那么我们就来看几个梯度下降算法的小实例，例如下图：

比如刚才的多变量函数下降，可以用python编写程序检验一下

def f(x,y):
    return x*x+y*y
def g(x):
    return 2*x
x=1
y=3
for i in range(2000):
    x=x-0.1*g(x)
    y=y-0.1*g(y)
    print(f(x,y))

5.代码实现

下面我们将用python实现一个简单的梯度下降算法。场景是一个简单的线性回归的例子：假设现在我们有一系列的点，如下图所示：

我们将用梯度下降法来拟合出这条直线！

首先，我们需要定义一个代价函数，在此我们选用均方误差代价函数（也称平方误差代价函数）

此公式中

（1）m是数据集中数据点的个数，也就是样本数
（2）½是一个常量，这样是为了在求梯度的时候，二次方乘下来的2就和这里的½抵消了，自然就没有多余的常数系数，方便后续的计算，同时对结果不会有影响
（3）y 是数据集中每个点的真实y坐标的值，也就是类标签
（4）h 是我们的预测函数（假设函数），根据每一个输入x，根据Θ 计算得到预测的y值，即

我们可以根据代价函数看到，代价函数中的变量有两个，所以是一个多变量的梯度下降问题，求解出代价函数的梯度，也就是分别对两个变量进行微分

明确了代价函数和梯度，以及预测的函数形式。我们就可以开始编写代码了。但在这之前，需要说明一点，就是为了方便代码的编写，我们会将所有的公式都转换为矩阵的形式，python中计算矩阵是非常方便的，同时代码也会变得非常的简洁。
为了转换为矩阵的计算，我们观察到预测函数的形式

我们有两个变量，为了对这个公式进行矩阵化，我们可以给每一个点x增加一维，这一维的值固定为1，这一维将会乘到Θ0上。这样就方便我们统一矩阵化的计算

然后我们将代价函数和梯度转化为矩阵向量相乘的形式

首先，我们需要定义数据集和学习率

from numpy import *
# 数据集大小 即20个数据点
m = 20
# x的坐标以及对应的矩阵
X0 = ones((m, 1))  # 生成一个m行1列的向量，也就是x0，全是1
X1 = arange(1, m+1).reshape(m, 1)  # 生成一个m行1列的向量，也就是x1，从1到m
X = hstack((X0, X1))  # 按照列堆叠形成数组，其实就是样本数据
# 对应的y坐标
Y = array([
    3, 4, 5, 5, 2, 4, 7, 8, 11, 8, 12,
    11, 13, 13, 16, 17, 18, 17, 19, 21
]).reshape(m, 1)
# 学习率
alpha = 0.01

接下来我们以矩阵向量的形式定义代价函数和代价函数的梯度

# 定义代价函数
def cost_function(theta, X, Y):
    diff = dot(X, theta) - Y  # dot() 数组需要像矩阵那样相乘，就需要用到dot()
    return (1/(2*m)) * dot(diff.transpose(), diff)


# 定义代价函数对应的梯度函数
def gradient_function(theta, X, Y):
    diff = dot(X, theta) - Y
    return (1/m) * dot(X.transpose(), diff)

最后就是算法的核心部分，梯度下降迭代计算

# 梯度下降迭代
def gradient_descent(X, Y, alpha):
    theta = array([1, 1]).reshape(2, 1)
    gradient = gradient_function(theta, X, Y)
    while not all(abs(gradient) <= 1e-5):
        theta = theta - alpha * gradient
        gradient = gradient_function(theta, X, Y)
    return theta


optimal = gradient_descent(X, Y, alpha)
print('optimal:', optimal)
print('cost function:', cost_function(optimal, X, Y)[0][0])

当梯度小于1e-5时，说明已经进入了比较平滑的状态，类似于山谷的状态，这时候再继续迭代效果也不大了，所以这个时候可以退出循环！
所拟合出的直线如下：

全部代码如下：

from numpy import *
# 数据集大小 即20个数据点
m = 20
# x的坐标以及对应的矩阵
X0 = ones((m, 1))  # 生成一个m行1列的向量，也就是x0，全是1
X1 = arange(1, m+1).reshape(m, 1)  # 生成一个m行1列的向量，也就是x1，从1到m
X = hstack((X0, X1))  # 按照列堆叠形成数组，其实就是样本数据
# 对应的y坐标
Y = array([
    3, 4, 5, 5, 2, 4, 7, 8, 11, 8, 12,
    11, 13, 13, 16, 17, 18, 17, 19, 21
]).reshape(m, 1)
# 学习率
alpha = 0.01


# 定义代价函数
def cost_function(theta, X, Y):
    diff = dot(X, theta) - Y  # dot() 数组需要像矩阵那样相乘，就需要用到dot()
    return (1/(2*m)) * dot(diff.transpose(), diff)


# 定义代价函数对应的梯度函数
def gradient_function(theta, X, Y):
    diff = dot(X, theta) - Y
    return (1/m) * dot(X.transpose(), diff)


# 梯度下降迭代
def gradient_descent(X, Y, alpha):
    theta = array([1, 1]).reshape(2, 1)
    gradient = gradient_function(theta, X, Y)
    while not all(abs(gradient) <= 1e-5):
        theta = theta - alpha * gradient
        gradient = gradient_function(theta, X, Y)
    return theta


optimal = gradient_descent(X, Y, alpha)
print('optimal:', optimal)
print('cost function:', cost_function(optimal, X, Y)[0][0])


# 根据数据画出对应的图像
def plot(X, Y, theta):
    import matplotlib.pyplot as plt
    ax = plt.subplot(111)  # 这是我改的
    ax.scatter(X, Y, s=30, c="red", marker="s")
    plt.xlabel("X")
    plt.ylabel("Y")
    x = arange(0, 21, 0.2)  # x的范围
    y = theta[0] + theta[1]*x
    ax.plot(x, y)
    plt.show()


plot(X1, Y, optimal)

我基本上是基于下面的链接https://www.jianshu.com/p/c7e642877b0e和https://blog.csdn.net/qq_41800366/article/details/86583789进行的学习，写这篇也就是为了给自己加深一下印象。