目录
二进制运算
计算机中，数值的运算都是用二进制表示的。
一个二进制数中，最高位是符号位，0 为正数，1 为负数。
6 的二进制：0000 0110
8 的二进制：0000 1000
-8 的二进制：1000 1000
如计算： 6 + 8
０００００１１０
＋００００１０００
－－－－－－－－－
００００１１１０
得到结果是 0000 1110，也就是十进制的 14。
但是如果计算： 6 + (-8)
０００００１１０
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
１０００１１１０
得到的结果是 1000 1110，也就是十进制的 -14， 显然该结果是错误的。
从上面例子看出，如果使用正常的加法规则来运算，正数和正数相加的结果是正确的，而正数和负数相加的结果是错误的。
在计算机中，为了解决正数和负数相加的问题，采用补码来表示负数。
补码的概念
在介绍补码的概念之前，先介绍一下“模”的概念。
假设当前时针指向 8 点，而准确时间是 6 点，调整时间有以下两种拨法：
一种是倒拨 2 小时，8 – 2 = 6 点；
另一种是顺拨 10 小时，8 + 10 = 12 + 6 = (12 + 6 ) % 12 = 6 点；
即 8 – 2 = 8 + 10 = 6 点 。
时钟的“模”是 12，减 2 和 加 10 的效果是一样的，也就是 2 和 10 互为补数。
如果两个数互为补数，那么它们的和正好等于“模”。所以，减法也就可以转成加法运算：
X – Y = X + ( Y 的补数 ) = X + (“模”- Y)
对于计算机，其概念和方法完全一样。n 位计算机，设 n = 8，所能表示的最大数是 1111 1111，若再加 1 成 1 0000 0000 (9位)，但因只有 8 位，最高位 1 自然丢失，又回到了 00000000，所以 8 位二进制系统的“模”为 2 的 8 次方。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。
求给定数值的补码分以下两种情况：
正数的补码，与原码相同。
负数的补码，将其原码除符号位外的所有位取反（0 变 1，1 变 0，符号位为 1 不变）后加 1。
8 位计算器的负数的补码计算公式：
1111 1111 – 负数的原码 + 1 = 1 0000 0000 – 负数的原码 = “模”- 负数的原码
如上例子，要计算 6 + (-8)，要先得到 -8 的补码，然后 6 加上补码：
-8 的补码：1111 0111 + 1 = 1111 1000
6 加上补码：0000 0110 + 1111 1000 = 1111 1110
结果中第一位是 1，表示这个结果是负数的补码，该补码对应的负数为（先减 1，再取反）：
先减 1：1111 1110 – 1 = 1111 1101
再取反：1000 0010（也就是十进制的 -2）
在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理。同时，加法和减法也可以统一处理，也就是只使用一种加法电路就能完成加法和减法的运算。
证明负数可以用补码表示
证明：X – Y = X + (-Y) 的补码
-Y 的补码：(1111 1111 – Y) + 1
X – Y = X + (-Y)的补码
= X + (111 11111 – Y) + 1
= X – Y + 1 0000 0000
= X – Y + 0000 0000
= X – Y
在 8 位计算机中，1 0000 0000（9位）的最高位 1 需要舍弃，也就是 0000 0000。
