[LeetCode] Partition Equal Subset Sum 相同子集和分割

 

Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.

Note:
Both the array size and each of the array element will not exceed 100.

Example 1:

Input: [1, 5, 11, 5]

Output: true

Explanation: The array can be partitioned as [1, 5, 5] and [11].

Example 2:

Input: [1, 2, 3, 5]

Output: false

Explanation: The array cannot be partitioned into equal sum subsets.

 

这道题给了我们一个数组,问我们这个数组能不能分成两个非空子集合,使得两个子集合的元素之和相同。那么我们想,原数组所有数字和一定是偶数,不然根本无法拆成两个和相同的子集合,那么我们只需要算出原数组的数字之和,然后除以2,就是我们的target,那么问题就转换为能不能找到一个非空子集合,使得其数字之和为target。开始我想的是遍历所有子集合,算和,但是这种方法无法通过OJ的大数据集合。于是乎,动态规划 Dynamic Programming 就是我们的不二之选。我们定义一个一维的dp数组,其中dp[i]表示数字i是否是原数组的任意个子集合之和,那么我们我们最后只需要返回dp[target]就行了。我们初始化dp[0]为true,由于题目中限制了所有数字为正数,那么我们就不用担心会出现和为0或者负数的情况。那么关键问题就是要找出状态转移方程了,我们需要遍历原数组中的数字,对于遍历到的每个数字nums[i],我们需要更新dp数组,要更新[nums[i], target]之间的值,那么对于这个区间中的任意一个数字j,如果dp[j – nums[i]]为true的话,那么dp[j]就一定为true,于是状态转移方程如下:

dp[j] = dp[j] || dp[j – nums[i]]         (nums[i] <= j <= target)

有了状态转移方程,那么我们就可以写出代码了,这里需要特别注意的是,第二个for循环一定要从target遍历到nums[i],而不能反过来,想想为什么呢?因为如果我们从nums[i]遍历到target的话,假如nums[i]=1的话,那么[1, target]中所有的dp值都是true,因为dp[0]是true,dp[1]会或上dp[0],为true,dp[2]会或上dp[1],为true,依此类推,完全使我们的dp数组失效了,参见代码如下:

 

解法一:

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0), target = sum >> 1;
        if (sum & 1) return false;
        vector<bool> dp(target + 1, false);
        dp[0] = true;
        for (int num : nums) {
            for (int i = target; i >= num; --i) {
                dp[i] = dp[i] || dp[i - num];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

 

这道题还可以用bitset来做,感觉也十分的巧妙,bisets的大小设为5001,为啥呢,因为题目中说了数组的长度和每个数字的大小都不会超过100,那么最大的和为10000,那么一半就是5000,前面再加上个0,就是5001了。我们初始化把最低位赋值为1,然后我们算出数组之和,然后我们遍历数字,对于遍历到的数字num,我们把bits向左平移num位,然后再或上原来的bits,这样所有的可能出现的和位置上都为1。举个例子来说吧,比如对于数组[2,3]来说,初始化bits为1,然后对于数字2,bits变为101,我们可以看出来bits[2]标记为了1,然后遍历到3,bits变为了101101,我们看到bits[5],bits[3],bits[2]都分别为1了,正好代表了可能的和2,3,5,这样我们遍历完整个数组后,去看bits[sum >> 1]是否为1即可,参见代码如下:

 

解法二:

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        bitset<5001> bits(1);
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        for (int num : nums) bits |= bits << num;
        return (sum % 2 == 0) && bits[sum >> 1];
    }
};

 

类似题目:

Partition to K Equal Sum Subset

 

参考资料:

https://leetcode.com/problems/partition-equal-subset-sum/discuss/90592/01-knapsack-detailed-explanation

https://leetcode.com/problems/partition-equal-subset-sum/discuss/90590/Simple-C++-4-line-solution-using-a-bitset

https://leetcode.com/problems/partition-equal-subset-sum/discuss/90588/Concise-C++-Solution-summary-with-DFS-DP-BIT

https://leetcode.com/problems/partition-equal-subset-sum/discuss/90627/Java-Solution-similar-to-backpack-problem-Easy-to-understand

 

    原文作者:Grandyang
    原文地址: http://www.cnblogs.com/grandyang/p/5951422.html
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