LeetCode 面试题14- II. 剪绳子 II

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LeetCode 面试题14- II. 剪绳子 II

题目

给你一根长度为 n 的绳子,请把绳子剪成整数长度的 m 段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m] 。请问 k[0]k[1]…*k[m] 可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回 1。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示:

  • 2 <= n <= 1000

注意:本题与主站 343 题相同:https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/

来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-ii-lcof
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解题思路

思路1-贪心算法

首先分析贪心条件,以哪个值分割最大呢?
假如以x等值分割后乘积最大:

  • 可分割为:\(\frac{n}{x}\)段;
  • 最终乘积为:\(\left(x^{\frac{1}{x}}\right)^{n}\)

因为n为常数,去掉n后,最终公式为 \(y=x^{\frac{1}{x}}\)
即问题转化为求\(x^{\frac{1}{x}}\)的最值问题,这需要求导解决,最终的结果为e,而e的取值为2.71828…;
因为只能整数分割,那么,最佳值可能为2或者3,因为有:

  • \(2^{\frac{1}{2}}(约为1.41)<3^{\frac{1}{3}}(约为1.44)\)
  • 更直接的,当n取6时有:\(\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{6}<\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{6}\),即\(2^{3}<3^{2}\)

所以,3是最优解,分割的贪心规则为:

  • 优先分割为3的长度;
  • 最后剩余的部分可能为0,1,2,其中若余1,则需要把最后剩余的4改为分割成2和2,毕竟\(3*1<2*2\)

此外:

  • 因为\(m>1\),即至少要分割一次,当\(n<4\)时,需要作特例判断;
  • 因为n可能很大,中间数需要用long保存,最后再转回int;

算法复杂度:

  • 时间复杂度: $ {\color{Magenta}{\Omicron\left(n\right)}} $
  • 空间复杂度: $ {\color{Magenta}{\Omicron\left(1\right)}} $

算法源码示例

package leetcode;

/**
 * @author ZhouJie
 * @date 2020年4月30日 下午11:52:44 
 * @Description: 面试题14- II. 剪绳子 II
 *
 *
 */
public class LeetCode_Offer_14_2 {

}

class Solution_Offer_14_2 {
	/**
	 * @author: ZhouJie
	 * @date: 2020年5月1日 上午12:13:23 
	 * @param: @param n
	 * @param: @return
	 * @return: int
	 * @Description: TODO
	 *
	 */
	public int cuttingRope_1(int n) {
		int mod = 1000000007;
		if (n < 4) {
			return n > 2 ? 2 : 1;
		} else {
			long rst = 1;
			while (n > 4) {
				rst = rst * 3 % mod;
				n -= 3;
			}
			return (int) (rst * n % mod);
		}
	}
}
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