字典序全排列and递归全排列

2020年4月1日 126次阅读

一、字典序

字典序，就是按照字典中出现的先后顺序进行排序。

1.单个字符

在计算机中，25个字母以及数字字符，字典排序如下：
‘0’ < ‘1’ < ‘2’ < … < ‘9’ < ‘a’ < ‘b’ < … < ‘z’
比如在 python 中， ‘0’ < ‘9’ < ‘a’ < ‘z’ 这个表达式就会返回 True。

2、多个字符

这是单个字符的大小情况，那么如果是两个字符串比较大小呢？在计算机中，两个字符串比较大小，是按照从左到右的顺序进行比较，如果第1位相等，就比较第2位，直至有一位可以比较出大小来，则不再继续比较。

对于任意两个序列 (a,b) 和 (a’,b’)，字典序定义为： (a,b) ≤ (a′,b′) 当且仅当 a < a′ 或 (a = a′ 且 b ≤ b′).

比如在 python 中，‘ab’ < ‘ac’、‘abc’ < ‘ac’、‘abc’ < ‘abcd’ 都会返回 True。

3、全排列的字典序

给定多个字符，可以按照任意顺序进行排列，所有排列称为全排列。

每一种排列对应一个字符串，如果这些字符串按照字符串大小的顺序进行排序，那么就这种排序是基于字典序的全排列。

比如给定三个字符 a,b,c，则他们基于字典序的全排列为：
abc > acb > bac > bca > cab > cba

二、字典序算法

字典序算法用来解决这样一个问题：给定其中一种排列，求基于字典序的下一种排列。

比如给定一种排列为 abc，则其基于字典序的下一种排列为 acb。

要求下一种排列既要比原排列大，又不能有第三种排列位于他俩之间。即下一种排列为大于原排列的最小排列。

以输入为 358764 为例，字典序算法的步骤：
1、从原排列中，从右至左，找到第一个左邻小于右邻的字符，记左邻位置为 a。
示例中 a=1，list[a] = 5。
2、重新从右至左，找到第一个比 list[a] 大的字符，记为位置为 b。
示例中 b=4，list[b] = 6。
3、交换 a 和 b 两个位置的值。
示例变为了 368754。
4、将 a 后面的数，由小到大排列。
示例变为了 364578。

算法结束，输出 364578。

注意：
1、第1步中，如果找不到左邻小于右邻的数，则说明给定的排列已经是全排列的最后一个排列了，则直接返回全排列的第一个排列，即所有排列中最小的排列，形成一个循环。
2、在第3步交换前，a 后面的数是按照从大到小进行排列（否则第1步中就可以找到左邻小于右邻的数了）。
3、在交换之后，a 后面的数仍然是按照从大到小排列的，尽管 b 位置的值变成了 list[a]，但是由于 b 位置是第一个比 list[a] 大的，因此交换之后 list[a] 仍然比左邻小，比右邻大。
4、既然 a 后面的数是从大到小排列的，那么第4步的排序，直接将 a 后面的数倒序即可。

算法的时间复杂度为 O(n) + O(n) + O(n) = O(n)。

1,2,3 的全排列的示例：
《字典序全排列and递归全排列》

【例】 如何得到346987521的下一个
1，从尾部往前找第一个P(i-1) < P(i)的位置
4 6 <- 9 <- 8 <- 7 <- 5 <- 2 <- 1
最终找到6是第一个变小的数字，记录下6的位置i-1
2，从i位置往后找到最后一个大于6的数
4 6 -> 9 -> 8 -> 7 5 2 1
最终找到7的位置，记录位置为m
3，交换位置i-1和m的值
4 7 9 8 6 5 2 1
4，倒序i位置后的所有数据
4 7 1 2 5 6 8 9
则347125689为346987521的下一个排列

private static void PermutationList()
        {
            int fromIndex, endIndex, changeIndex;
            Sort(0, length - 1);
            do
            {
                // 输出一种全排列
                Output();
                fromIndex = endIndex = length - 1;
                // 向前查找第一个变小的元素
                while (fromIndex > 0 && words[fromIndex] < words[fromIndex - 1]) --fromIndex;
                changeIndex = fromIndex;
                if (fromIndex == 0) break;
                // 向后查找最后一个大于words[fromIndex-1]的元素
                while (changeIndex + 1 < length && words[changeIndex + 1] > words[fromIndex - 1]) ++changeIndex;
                Swap(fromIndex - 1, changeIndex);   // 交换两个值
                InvertArray(fromIndex, endIndex);   // 对后面的所有值进行反向处理
            } while (true);
        }

三、递归全排列

递归方法很容易理解：分别将每个位置交换到最前面位，之后全排列剩下的位。
《字典序全排列and递归全排列》
【例】递归全排列 1 2 3 4 5
1，for循环将每个位置的数据交换到第一位
swap(1,1~5)
2，按相同的方式全排列剩余的位

   /// <summary>
       /// 递归方式生成全排列的方法
       /// </summary>
       /// <param name="fromIndex">全排列的起始位置</param>
       /// <param name="endIndex">全排列的终止位置</param>
       private static void PermutationList(int fromIndex, int endIndex)
       {
           if (fromIndex == endIndex)
               Output();
           else
           {
               for (int index = fromIndex; index <= endIndex; ++index)
               {
                   // 此处排序主要是为了生成字典序全排列，否则递归会打乱字典序
                   Sort(fromIndex, endIndex);
                   Swap(fromIndex, index);
                   PermutationList(fromIndex + 1, endIndex);
                   Swap(fromIndex, index);
               }
           }
       }
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