一、什么是AVL树

       AVL树是最早提出的自平衡二叉树，在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n），增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。

二、基本术语

   有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡，分别为：

（1）LL：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由1变为2

（2）RR：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由-1变为-2

（3）LR：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由1变为2

（4）RL：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由-1变为-2

针对四种种情况可能导致的不平衡，可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转：

（1）左旋转：将根节点旋转到（根节点的）右孩子的左孩子位置

（2）右旋转：将根节点旋转到（根节点的）左孩子的右孩子位置

三、AVL树的旋转操作

AVL树的基本操作是旋转，有四种旋转方式，分别为：左旋转，右旋转，左右旋转（先左后右），右左旋转（先右后左），实际上，这四种旋转操作两两对称，因而也可以说成两类旋转操作。

基本数据结构：

typedef struct AvlNode
{
    int element;
    AvlNode *left;
    AvlNode *right;
    int height;	
};

1、节点高度计算

int Height(AvlNode *t)
{
    return t==NULL?-1:t->height;	
}

2、右单旋转LL

void rotateWithLeftChild(AvlNode *t)
{
    AvlNode *temp=t->left;
    t->left=temp->right;
    temp->right=t;
    t->height=max(Height(t->left),Height(t->right))+1;
    temp->height=max(Height(temp->left),Height(temp->right))+1;
}

3、左单旋转RR

void rotateWithRightChild(AvlNode *t)
{
    AvlNode *temp=t->right;
    t->right=temp->left;
    temp->left=t;
    t->height=max(Height(t->left),Height(t->right))+1;
    temp->height=max(Height(temp->left),Height(temp->right))+1;
}

4、先右后左双旋转LR

void doubleWithLeftChild(AvlNode *t)
{
    rotateWithLeftChild(t->left);
    rotateWithRightChild(t);
}

5、先左后右双旋转RL

void doubleWithRightChild(AvlNode *t)
{
    rotateWithRightChild(t->left);
    rotateWithLeftChild(t);
}

6、插入一个节点

void insert(AvlNode *t,int x)
{
    if(t==NULL)
    {
         t=(AvlNode *)malloc(sizeof(AvlNode));
         t->left=NULL;
         t->right=NULL;
    }	 
    else if(x<t->element)
    {
         	insert(t->left,x);
         	if(Height(t->left)-Height(t->right)==2)
         	{
                if(x<t->left->element)
                {
                    rotateWithLeftChild(t);	
                }
                else
                {
                    doubleWithLeftChild(t);	
                }
            } 
    }
    else if(x>t->element)
    {
         	insert(t->right,x);
         	if(Height(t->right)-Height(t->left)==2)
         	{
                if(x>t->left->element)
                {
                    rotateWithRightChild(t);	
                }
                else
                {
                    doubleWithRightChild(t);	
                }
            } 
    }
    else
    ;
}

四、总结

AVL树的优点是使得树的深度不至于出现极端，以至于递归太深，导致栈溢出等问题，同时它也是红黑树、伸展树等的变形基础。