有 n
个气球,编号为0
到 n-1
,每个气球上都标有一个数字,这些数字存在数组 nums
中。
现在要求你戳破所有的气球。每当你戳破一个气球 i
时,你可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right]
个硬币。 这里的 left
和 right
代表和 i
相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i
后,气球 left
和气球 right
就变成了相邻的气球。
求所能获得硬币的最大数量。
说明:
- 你可以假设
nums[-1] = nums[n] = 1
,但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。 - 0 ≤
n
≤ 500, 0 ≤nums[i]
≤ 100
示例:
输入:[3,1,5,8]
输出:167 解释:
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> [] coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
思路:用动态规划做,这里举例子说明,加入对于数组 [3,1,5,8],应该首先推出长度为1,长度为2,长度为3。。。即:
[3]->[1]->[5]->[8]->[3,1]->[1,5]->[5,8]->[3,1,5]->[1,5,8]->[3,1,5,8],定义二维地推数组dp[i][j],dp[i][j]的意义为从下标为i到下标为j的最长的值,且地推公式为:
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k-1]+nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]+dp[k+1][j]);
如图所示:对于范围[i~j]而言,更新规则表示的是最后戳破第k个气球的情况,所以c[i][k-1]是确定的值,c[k+1][j]是确定的值,而戳破了第k个元素得到的奖励为:nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]。所以最终的递归公式为:
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k-1]+nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]+dp[k+1][j]);
参考代码:
class Solution {
public:
int maxCoins(vector<int>& nums) {
int n=nums.size();
nums.insert(nums.begin(),1);
nums.push_back(1);
vector<vector<int>> dp(n+2,vector<int>(n+2,0));
for(int len=1;len<=n;len++){
for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
int j=i+len-1;
for(int k=i;k<=j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k-1]+nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]+dp[k+1][j]);
}
}
}
return dp[1][n];
}
};