一、平衡二叉树的概念

对于二叉树进行查找的时间复杂度是由查找过程中的比较次数来衡量的
比较是从根结点到叶节点的路径进行的，取决于树的深度，树深在最好的情况下是O（logN）
当二叉树退化成一棵单枝树的情况下，查找的复杂度将是线性的O（N）

假定二叉搜索树中每个结点的查找概率都是相同的，就称查找所有结点的比较次数的平均值为“平均查找长度ASL”
其中ASL = （∑深度k*该层的结点数）/总的结点数
一棵树的ASL越小，它的结构越好，与完全二叉树越接近，对它的查找时间复杂度也越接近O（logN）

AVL树的插入、删除、查找操作均可以在O（logN）时间内完成
要么它是一棵空树，如果它非空：
首先，它要是一棵二叉搜索树
其次，任一结点的左右子树均为AVL树
最后，某一结点的左右子树之差的绝对值不超过1
平衡因子BF（T）= height（T->left） - height（T->right），AVL树的平衡因子只能在{ 1， 0， -1 }取值

二、平衡二叉树的调整

首先大家都知道要先定义一棵平衡二叉树的结点结构

还有我们是这样去获得一棵树的高度的

情况1：LL情况（破坏者在被破坏者左子树的左子树上）

情况2：RR情况（破坏者在被破坏者右子树的右子树上）

情况3：LR情况（破坏者在被破坏者左子树的右子树上）

情况4：RL情况（破坏者在被破坏者右子树的左子树上）

三、创建AVL树

测试结果及代码

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include <iostream>
#include <stdlib.h> 

typedef int ElemType;
struct TreeNode {
	ElemType data;
	int height;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
};
typedef TreeNode *AVLtree;

int GetHeightOfTree(TreeNode *T) {
	if (T) {
		return GetHeightOfTree(T->left) > GetHeightOfTree(T->right) ? GetHeightOfTree(T->left) + 1 : GetHeightOfTree(T->right) + 1;
	}
	else {
		return 0;
	}
}

int Max(int a, int b) {
	return a > b ? a : b;
}

AVLtree LL_rotate(AVLtree T) { 
	AVLtree L;
	L = T->right;
	T->left = L->right;
	L->right = T;

	T->height = Max(GetHeightOfTree(T->left), GetHeightOfTree(T->right)) + 1;
	L->height = Max(GetHeightOfTree(L->left), T->height) + 1;

	return L;
}

AVLtree RR_rotate(AVLtree T) {
	AVLtree R;
	R = T->right;
	T->right = R->left;
	R->left = T;

	T->height = Max(GetHeightOfTree(T->left), GetHeightOfTree(T->right)) + 1;
	R->height = Max(GetHeightOfTree(R->right), T->height) + 1;

	return R;
}

AVLtree LR_rotate(AVLtree T) {
	T->left = RR_rotate(T->left);	// 以根结点T的左子树的根结点作为根结点进去旋转,返回的结点作为T的左子树根结点
	return LL_rotate(T);
}

AVLtree RL_rotate(AVLtree T) {
	T->right = LL_rotate(T->right);
	return RR_rotate(T);
}

AVLtree InsertAVL(AVLtree T, ElemType x) {
	if (T == NULL) {
		T = (AVLtree)malloc(sizeof(TreeNode));
		T->data = x;
		T->left = T->right = NULL;
		T->height = 1;
	}
	else if (x < T->data) {
		T->left = InsertAVL(T->left, x);	// 插入,注意返回值指向了新的结点为T的左子树
		if (GetHeightOfTree(T->left) - GetHeightOfTree(T->right) == 2) {
			if (x < T->left->data) {
				T = LL_rotate(T);		
			}
			else if (x > T->left->data) {
				T = LR_rotate(T);
			}
			else {
				;
			}
		}
	}
	else if (x > T->data) {
		T->right = InsertAVL(T->right, x);			// 插入,注意返回值指向了新的结点为T的右子树
		if (GetHeightOfTree(T->left) - GetHeightOfTree(T->right) == -2) {
			if (x > T->right->data) {
				T = RR_rotate(T);
			}
			else if (x < T->right->data) {
				T = RL_rotate(T);
			}
			else {
				;
			}
		}
	}
	else {
		;
	}

	T->height = Max(GetHeightOfTree(T->left), GetHeightOfTree(T->right)) + 1;

	return T;
}

AVLtree CreateAVL(ElemType *a, int N) {
	AVLtree root = NULL;	// 记得初始化为NULL
	for (int i = 0; i < N; ++i) {
		root = InsertAVL(root, a[i]);
	}
	return root;
}

void PreOrderTraversal(TreeNode *T) {
	if (T) {
		printf("%d ", T->data);
		PreOrderTraversal(T->left);
		PreOrderTraversal(T->right);
	}
}

void InOrderTraversal(TreeNode *T) {
	if (T) {
		InOrderTraversal(T->left);
		printf("%d ", T->data);
		InOrderTraversal(T->right);
	}
}

void PostOrderTraversal(TreeNode *T) {
	if (T) {
		PostOrderTraversal(T->left);
		PostOrderTraversal(T->right);
		printf("%d ", T->data);
	}
}

int main(int argc, char *argv[]) {
	
	ElemType arr[10] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 };
	AVLtree t = CreateAVL(arr, 10);
	puts("先序遍历: ");
	PreOrderTraversal(t);
	puts("\n");

	puts("中序遍历: ");
	InOrderTraversal(t);
	puts("\n");

	puts("后序遍历: ");
	PostOrderTraversal(t);
	puts("\n");

	return 0;
}