Given a non-empty 2D matrix matrix and an integer k, find the max sum of a rectangle in the matrix such that its sum is no larger than k.

Example:

Given matrix = [
  [1,  0, 1],
  [0, -2, 3]
]
k = 2

The answer is 2. Because the sum of rectangle [[0, 1], [-2, 3]] is 2 and 2 is the max number no larger than k (k = 2).

Note:

1. The rectangle inside the matrix must have an area > 0.
2. What if the number of rows is much larger than the number of columns?

Credits:
Special thanks to @fujiaozhu for adding this problem and creating all test cases.

这道题给了我们一个二维数组，让我们求和不超过的K的最大子矩形，那么我们首先可以考虑使用brute force来解，就是遍历所有的子矩形，然后计算其和跟K比较，找出不超过K的最大值即可。就算是暴力搜索，我们也可以使用优化的算法，比如建立累加和，参见之前那道题Range Sum Query 2D – Immutable，我们可以快速求出任何一个区间和，那么下面的方法就是这样的，当遍历到(i, j)时，我们计算sum(i, j)，表示矩形(0, 0)到(i, j)的和，然后我们遍历这个矩形中所有的子矩形，计算其和跟K相比，这样既可遍历到原矩形的所有子矩形，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int maxSumSubmatrix(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return 0;
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size(), res = INT_MIN;
        int sum[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                int t = matrix[i][j];
                if (i > 0) t += sum[i - 1][j];
                if (j > 0) t += sum[i][j - 1];
                if (i > 0 && j > 0) t -= sum[i - 1][j - 1];
                sum[i][j] = t;
                for (int r = 0; r <= i; ++r) {
                    for (int c = 0; c <= j; ++c) {
                        int d = sum[i][j];
                        if (r > 0) d -= sum[r - 1][j];
                        if (c > 0) d -= sum[i][c - 1];
                        if (r > 0 && c > 0) d += sum[r - 1][c - 1];
                        if (d <= k) res = max(res, d);
                    }
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

下面这个算法进一步的优化了运行时间，这个算法是基于计算二维数组中最大子矩阵和的算法，可以参见youtube上的这个视频Maximum Sum Rectangular Submatrix in Matrix dynamic programming/2D kadane。这个算法巧妙在把二维数组按行或列拆成多个一维数组，然后利用一维数组的累加和来找符合要求的数字，这里用了lower_bound来加快我们的搜索速度，也可以使用二分搜索法来替代。我们建立一个集合set，然后开始先放个0进去，为啥要放0呢，因为我们要找lower_bound(curSum – k)，当curSum和k相等时，0就可以被返回了，这样我们就能更新结果了。由于我们对于一维数组建立了累积和，那么sum[i,j] = sum[i] – sum[j]，其中sums[i,j]就是目标子数组需要其和小于等于k，然后sums[j]是curSum，而sum[i]就是我们要找值，当我们使用二分搜索法找sum[i]时，sum[i]的和需要>=sum[j] – k，所以也可以使用lower_bound来找，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int maxSumSubmatrix(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return 0;
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size(), res = INT_MIN;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            vector<int> sum(m, 0);
            for (int j = i; j < n; ++j) {
                for (int k = 0; k < m; ++k) {
                    sum[k] += matrix[k][j];
                }
                int curSum = 0, curMax = INT_MIN;
                set<int> s;
                s.insert(0);
                for (auto a : sum) {
                    curSum += a;
                    auto it = s.lower_bound(curSum - k);
                    if (it != s.end()) curMax = max(curMax, curSum - *it);
                    s.insert(curSum);
                }
                res = max(res, curMax);
            }
        }
        return res;
    }
};

类似题目：

Maximum Subarray

Range Sum Query 2D – Immutable

Maximum Size Subarray Sum Equals k

参考资料：

https://leetcode.com/discuss/109847/2-accepted-java-solution

https://leetcode.com/discuss/109749/accepted-c-codes-with-explanation-and-references