二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素也就相当于是在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，为了解决二叉搜索树中单支树的这种情况，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了AVL（平衡树）：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差(平衡因子)的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

故AVL树有两个最大的特点：

1、AVL树的左右子树都是也都是平衡树。
2、AVL树的平衡因子（左右子树高度之差）的绝对值不能超过1。

AVL树的介绍就到次，本篇文章主要讲解一下AVL树的四大旋转问题。为了方便理解，本文通过对将一组数插入到AVL树中的具体过程来帮助大家解开旋转的迷雾。

左单旋

当向较高右子树（不一定是根的右子树，也可以是根的左子树中的右子树）的右侧插入一个新的结点时，就会导致右侧的高度比左侧的高度高2，平衡因子失衡。（可以想象自己拿着一条绳子，右边的部分长一些，为了让左边的跟右边的一样长，是不是只要拿着左端往左边扯一下，就可使两端一样长了）同理，此时就需要往左旋转。

左单旋思路：
      先判端是否为左单旋的情况，如果是 —->找到第一个失去平衡的结点，暂将其标记为P—-> 将其右孩子标记为 PR ，—->右孩子PR的左子树标记为PRL (可能为NULL，如下图第一种情况)；然后使用PR代替原来P的位置 —->将PR的左子树放在P的右孩子位置 —->最后将P放到PR的左孩子位置。

右单旋：

       右单旋跟左单旋其实就是对称的，当向
较高左子树（不一定是根的左子树，也可以是根的右子树中的左子树）的左侧
插入一个新的结点时，就会导致左侧的高度比右侧的高度高-2，平衡因子失衡，故
此时就需要往右旋转。
右单旋思路：
      先判端是否为右单旋的情况，如果是 —->找到第一个失去平衡的结点，暂将其标记为P—-> 将其右孩子标记为 PL ，—->右孩子PL的右子树标记为PLR (可能为NULL，如下图第一种情况)；然后使用PL代替原来P的位置 —->将PL的右子树放在P的左孩子位置 —->最后将P放到PL的右孩子位置。

左右双旋：       

当在较高左子树的右侧插入一个结点时，导致较高左子树的双亲结点失去平衡。此时是较高左子树的右侧导致的失衡，仅仅
依靠单旋已经没法调整平衡了。
    判断是否为左右双旋的情况，如果是—>先使用左单旋，再使用右单旋。

右左双旋：

    当在较高右子树的左侧插入一个结点时，导致较高右子树的双亲结点失去平衡。此时是较高右子树的左侧导致的失衡，仅仅
依靠单旋已经没法调整平衡了。
    判断是否为右左双旋的情况，如果是—>先使用右单旋，再使用左单旋。

具体实现

#include <iostream> using namespace std; template <typename T, typename V> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode() {} AVLTreeNode(T key, V value) :_key(key) , _value(value) , _bf(0) , _pLeft(NULL) , _pRight(NULL) , _pParent(NULL) {} T _key; V _value; int _bf; AVLTreeNode<T, V>* _pLeft; AVLTreeNode<T, V>* _pRight; AVLTreeNode<T, V>* _pParent; }; template <typename T, typename V> class AVLTree { typedef AVLTreeNode<int, int> Node; typedef Node* PNode; public: AVLTree() :_pRoot(NULL) {} void Insert(T key, V value) { _Insert(_pRoot, key, value); } void Delete(T key, V value) { _Delete(_pRoot, key, value); } void InOrder() { _InOrder(_pRoot); } bool Isbalance() { return _Isbalance(_pRoot); } private: int GetHeight(PNode Root) { if (NULL == Root) return 0; int Left = GetHeight(Root->_pLeft); int Right = GetHeight(Root->_pRight); return (Left > Right) ? (Left + 1) : (Right + 1); } bool _Isbalance(PNode Root) { if (NULL == Root) return true; int LHeight = GetHeight(Root->_pLeft); int RHeight = GetHeight(Root->_pRight); int bf = RHeight - LHeight; if (abs(bf) >= 2) return false; else return _Isbalance(Root->_pLeft) && _Isbalance(Root->_pRight); } PNode Find(PNode& Root, T key, V value) { PNode pCur = Root; while (pCur) { if (key < pCur->_key) pCur = pCur->_pLeft; else if (key > pCur->_key) pCur = pCur->_pRight; else return pCur; } return NULL; } PNode FirstOfInOder(PNode& Root) { if (NULL == Root) return NULL; PNode pCur = Root; while (pCur->_pLeft) { pCur = pCur->_pLeft; } return pCur; } void RotateL(PNode pParent) { PNode pSubR = pParent->_pRight; PNode pSubRL = pSubR->_pLeft; //更新pParent的右 pParent->_pRight = pSubRL; if (pSubRL) pSubRL->_pParent = pParent; //更新PSubR的左和双亲 pSubR->_pLeft = pParent; PNode parent = pParent->_pParent; pSubR->_pParent = parent; //更新pParent的双亲 //pParent为根 if (parent == NULL) _pRoot = pSubR; //pParent为双亲的左 else if (pParent == parent->_pLeft) parent->_pLeft = pSubR; //pParent为双亲的右 else if (pParent == parent->_pRight) parent->_pRight = pSubR; pParent->_pParent = pSubR; pParent->_bf = 0; pSubR->_bf = 0; } void RotateR(PNode pParent) { PNode pSubL = pParent->_pLeft; PNode pSubLR = pSubL->_pRight; //更新pParent的左 pParent->_pLeft = pSubLR; if (pSubLR) pSubLR->_pParent = pParent; //更新pSubL的位置 PNode parent = pParent->_pParent; pSubL->_pRight = pParent; pSubL->_pParent = parent; //更新pParent的双亲结点的指向 //pParent为根 if (NULL == parent) _pRoot = pSubL; //pParent为双亲结点的左孩子 else if (pParent == parent->_pLeft) parent->_pLeft = pSubL; //pParent为双亲结点的右孩子 else if (pParent == parent->_pRight) parent->_pRight = pSubL; pParent->_pParent = pSubL; pParent->_bf = 0; pSubL->_bf = 0; } void RotateLR(PNode pParent) { PNode pSubL = pParent->_pLeft; PNode pSubLR = pSubL->_pRight; int LR = pSubLR->_bf; RotateL(pParent->_pLeft); RotateR(pParent); PNode parent = pParent->_pParent; if (parent) { int left = GetHeight(parent->_pLeft); int right = GetHeight(parent->_pRight); parent->_bf = right - left; } if (LR == -1) pParent->_bf = 1; else if (LR == 1) pSubL->_bf = -1; } void RotateRL(PNode pParent) { PNode pSubR = pParent->_pRight; PNode pSubRL = pSubR->_pLeft; int RL = pSubRL->_bf; PNode parent = pParent->_pParent; if (parent) parent->_bf++; RotateR(pParent->_pRight); RotateL(pParent); if (RL == 1) pParent->_bf = -1; else if (RL == -1) pSubR->_bf = 1; } //旋转平衡调整 void _Rotate(PNode& pParent) { if(pParent) { if (pParent->_bf == -2) { if (pParent->_pLeft->_bf == -1)//较高左子树的左侧---右单旋 RotateR(pParent); else if (pParent->_pLeft->_bf == 1)//较高左子树的右侧---左右双旋 RotateLR(pParent); } else if (pParent->_bf == 2) { if (pParent->_pRight->_bf == 1)//较高右子树的右侧---左单旋 RotateL(pParent); else if (pParent->_pRight->_bf == -1)//较高右子树的左侧---右左双旋 RotateRL(pParent); } } } //调整平衡因子 void AdjustBf(PNode& pCur) { PNode pParent = pCur->_pParent; while (pParent) { if (pCur == pParent->_pLeft) pParent->_bf--; else pParent->_bf++; if (0 == pParent->_bf) break; else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf) { pCur = pParent; pParent = pCur->_pParent; } else { _Rotate(pParent); break; } } } private: void _InOrder(PNode& Root) { if (NULL == Root) return; _InOrder(Root->_pLeft); cout << "<" << Root->_key << "," << Root->_value << ">" << endl; _InOrder(Root->_pRight); } bool _Insert(PNode& Root, T key, V value) { if (NULL == Root) { Root = new Node(key, value); return true; } PNode pCur = Root; PNode pParent = NULL; while (pCur) { if (key < pCur->_key) { pParent = pCur; pCur = pCur->_pLeft; } else if (key > pCur->_key) { pParent = pCur; pCur = pCur->_pRight; } else return false; } pCur = new Node(key, value); if (key < pParent->_key) pParent->_pLeft = pCur; else pParent->_pRight = pCur; pCur->_pParent = pParent; AdjustBf(pCur); return true; } private: PNode _pRoot; }; void TestAVLTre() { AVLTree<int, int> avlt; //int arr[] = { 11, 7, 18, 3 }; int arr[] = { 70, 50, 90, 30, 60,55}; for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++) { avlt.Insert(arr[i], i); } avlt.InOrder(); //avlt.Insert(4, 4); if (avlt.Isbalance()) cout << "this Tree is AVLTree" << endl; else cout << "this Tree is not AVLTree" << endl; }