一、什么是AVL树及AVL树解决了什么问题？
二分搜索树的不足：如果我们以此添加1、2、3、4、5元素构建一个二分搜索树，那么最终会退化成一个链表。
AVL是最早的可以自平衡的二分搜索树结构，平衡二叉树即：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差不能超过1。
平衡二叉树的高度和节点数量之间的关系也是O(logn)
将二分搜索树变为平衡二叉树：在二分搜索树的基础上添加 ①标注节点的高度 ②计算平衡因子【左子树高度-右子树高度】 一个树中只要有一处平衡因子的值 >= 2或 <= -2则该树不是平衡二叉树。
获得节点高度的方法： node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));
计算平衡因子的方法：getHeight(node.left) – getHeight(node.right);
AVL树是从二分搜索树升级过来的。所以它满足二分搜索树的基本特征【左子树所有节点都小于其根节点，右子树所有节点都大于其根节点】，AVL树是对于二分搜索树退化成链表的一种解决方案。
二、AVL树如何实现自平衡
加入节点后，打破了平衡性，导致新增节点的祖辈节点深度/平衡因子可能发生变化，于是可以沿着节点向上维护平衡性，由于我们可以使用递归实现，所以沿着节点向上维护平衡性也是一件很简单的事情。
1、自平衡维护——LL右旋转
情况① 插入元素在最终形成不平衡节点的左侧的左侧(LL)——右旋转
在插入节点2之前，该树为一棵平衡二叉树，且满足二分搜索树性质，在插入节点2后发现，节点8的平衡因子变为了2，打破了平衡树的基本条件，同理我们在0、1、2顺序插入构建二叉树的同时也会造成树退化成链表，导致左图中节点12平衡因子变为了2。
因为插入元素在最终形成不平衡节点的左侧的左侧，此时我们就可以进行不平衡的维护了。
右旋转之前：
右旋转之后：
//add方法中,在计算完不平衡因子后
if(balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0 )
//右旋转
return rightRotate(node);
//右旋转
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
//右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
//更新height T1,T2,T3,T4在更新后仍然为叶子节点,height无需变化,先变化y后变化x
y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
2、自平衡维护——RR左旋转
情况②插入元素在最终形成不平衡节点的右侧的右侧(RR)——左旋转
旋转之前：
旋转之后：
//在add方法中,计算出平衡因子之后
if(balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor((node.right)) <= 0)
//左旋转
return leftRotate(node);
//左旋转
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
x.left = y ;
y.right = T2;
//更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
3、自平衡维护——LR
如左图所示，如果只进行简单的右旋转的话，那么8会作为根节点，而8<10且8<12，不能作为根节点，不能通过简单右旋转维护自平衡，又如右图，在新增节点4后，产生了LR的情况。如果简单地进行右旋转同样也是不行的【根节点5小于3和8】。
自平衡之前： 自平衡后：
在新插入节点之后，对于新插入的节点将会向上寻找找到第一个不平衡节点，不平衡产生于新插入的节点在不平衡节点左孩子的右侧，所以叫LR。处理思路：①首先对x[不平衡节点左孩子]进行左旋转，②转化为LL，③后对y节点右旋转维护自平衡。
//LR
if(balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0){
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
4、自平衡维护——RL
自平衡之前：
在新插入节点之后，对于新插入的节点将会向上寻找找到第一个不平衡节点，不平衡产生于新插入的节点在不平衡节点右孩子的左侧，所以叫RL。处理思路：①首先对x[不平衡节点右孩子]进行右旋转，②转化为RR，③后对y节点左旋转维护自平衡。
//RL
if(balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0){
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
三、AVL树删除元素如何实现自平衡
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if (node != null) {
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if (node == null)
return null;
Node retNode;
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = remove(node.left, key);
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
} else { // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
retNode = rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
retNode = leftNode;
} else {
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null)
return null;
//更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
//计算平衡因子
int balanceFacotor = getBalanceFactor(retNode);
//LL
if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
//右旋转
return rightRotate(retNode);
//RR
if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor((retNode.right)) <= 0)
//左旋转
return leftRotate(retNode);
//LR
if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
//RL
if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
四、AVL树代码汇总
package cn.itcats.avltree;
import java.util.ArrayList;
public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {
private class Node {
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree() {
root = null;
size = 0;
}
private int getHeight(Node node) {
if (node == null)
return 0;
return node.height;
}
//获得节点node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node) {
if (node == null)
return 0;
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
//判断当前树是否为一个二分搜索树
public boolean isBST() {
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for (int i = 1; i < keys.size(); i++)
if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0)
return false;
return true;
}
//判断当前树是否为一个平衡二叉树
public boolean isBalance() {
return isBalance(root);
}
//判断以Node为根节点的二叉树是否为一个平衡二叉树,使用递归算法
private boolean isBalance(Node node) {
if (node == null)
return true;
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1)
return false;
return isBalance(node.left) && isBalance(node.right);
}
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys) {
if (node == null)
return;
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
public int getSize() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if (key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
//更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
//计算平衡因子
int balanceFacotor = getBalanceFactor(node);
//LL
if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
//右旋转
return rightRotate(node);
//RR
if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor((node.right)) <= 0)
//左旋转
return leftRotate(node);
//LR
if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
//RL
if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
if (Math.abs(balanceFacotor) > 1)
System.out.println("unbalance: " + balanceFacotor);
return node;
}
//右旋转
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
//右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
//更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
//左旋转
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
x.left = y;
y.right = T2;
//更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
private Node getNode(Node node, K key) {
if (node == null)
return null;
if (key.equals(node.key))
return node;
else if (key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key) {
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key) {
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue) {
Node node = getNode(root, key);
if (node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node) {
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if (node != null) {
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if (node == null)
return null;
Node retNode;
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = remove(node.left, key);
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
} else { // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
retNode = rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
retNode = leftNode;
} else {
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null)
return null;
//更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
//计算平衡因子
int balanceFacotor = getBalanceFactor(retNode);
//LL
if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
//右旋转
return rightRotate(retNode);
//RR
if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor((retNode.right)) <= 0)
//左旋转
return leftRotate(retNode);
//LR
if (balanceFacotor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
//RL
if (balanceFacotor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
}
