我们在飞控学习过程中听到太多次A座标系转B座标系了，那么什么是座标系旋转呢？

假设向量 OA在 OXY 座标系下的座标为（x,y）,

然后座标系从 OXY 绕 Z 轴正方向逆时针旋转 θ 角，变为座标系 OX’Y’。

向量 OA在 OX’Y’座标系下的座标为（x’,y’）。

向量没变，但是座标系变了，所以现在的问题在于找到在不同座标系下，同一个向量描述，之间的关系，也就是找到（x,y）与（x’,y’）之间的关系。

如图所示，我们通过投影关系很容易得到二维里的关系。

矩阵形式：

所以我们可以把这个旋转抽象出来，「向量逆时针旋转theta角度」的通用形式可以用矩阵表示为：

只要把这个形式扩展到三维就可以得到三维中的座标系旋转。

三维中绕z轴旋转：

形式是完全一样的，只是在转轴处补1即可，剩下两个轴的形式和二维一致。
同理三维中绕x轴旋转:

继续同理！！！！

等等！为什么和书上不一样？

书上算错的了！别激动，只是因为我们忽略了一个隐藏条件右手座标系

就是说其实我们的x,y,z的顺序是固定的，我们要套用这个通用的旋转形式，座标系只能是以下三个状态(可以自己的右手试试)。

绕x转时：A轴=y轴，B轴=z轴，
绕y转时：A轴=z轴，B轴=x轴，
绕z转时：A轴=x轴，B轴=y轴，

我们按照右手座标系重新写一下绕y轴旋转的形式：

写成矩阵形式：

哎，好气呀，书上又是对的。

看到这里聪明的你突然发现：绕某个座标轴旋转不就是欧拉角吗？嗯 这一部分 我们下次再聊。

感谢 @东南大学佘飞 同学的提问让我对座标系旋转再一次思考，欢迎加我的个人微信交流，共同进步。

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