AVL树是带有平衡条件的二叉查找树。

为什么需要平衡捏？

之前看的二叉查找树，在进行大量插入与删除操作时，会出现左子树越来越深（可以理解为元素节点越来越多，比右子树多很多）的情况，因为删除时经常把右子树中的节点拿出来替代删除的节点，这样在对树操作时会降低效率。因为操作时大多会往左检索，而需要检索的节点会越来越多。

所以，如果使树维持在左右两部分大致差不多的情况，在差不多的数据量下，效率明显更高。

一棵AVL树，其每个节点的左右子树的高度最多相差1。

如果一个节点的左右子树的高度相差超过1，我现在称它为不平衡。

为了保证每个节点的左右子树的高度最多相差1。

首先对删除操作实行懒惰删除。即当要删除一个节点上，只是对其进行标记，并不真的将其删除，其任然留在树中。这特别是在有重复项时很常用，因为此时记录出现频率数的域可以减1。如果树中的实际节点数和“被删除”的节点数相同，那么树的深度预计只上升一个小的常数。如果被删除的项是重新插入的，那么分配一个新单元的开销就避免了。

对插入操作，我们需要更新通向根节点路径上那些节点的所有平衡信息，判断是否让树平衡被打破，即树中某一节点的左右子树的高度最多相差超过1。如果平衡被破坏，则需要修正，称其为旋转。

简单来说，会破坏平衡的操作（插入）有四种：

1左左–左；2左左–右；3右右–左；4右右–右。1和4镜像对称，2和3镜像对称。

1和4需要一次单旋转，2和3则需要复杂些的双旋转。

单旋转

对于什么时候单旋转，即1和4的情况，我觉得可以这样理解：

即插入的打破平衡的新元素（A），并不在被打破平衡的节点（B）（该节点在插入新元素后左右子树的高度最相差2>1），与B到A的路路径的儿子节点（C）之间。

1左(B)左(C)–左(A)：A比B和C都小。

4右(B)右(C)–右(A)：A比B和C都大。

（2和3的情况就可以简单的理解为A在B和C之间，双旋转）

（备注：C是B的儿子节点，A是C的子节点，但A不一定是C的儿子节点，A可能距离B很远，但是它的插入却会使B不平衡）

此时进行单旋转。单旋转怎么旋转捏？

谁被打破，旋转谁，即改变谁。可以很明显看出应该旋转B，即用B的儿子C替换B，

对1左(B)左(C)–左(A)的情况就是 ：C原本是B的左儿子，让其替换到B的位置，C成为父节点，B成为其右儿子。

对4右(B)右(C)–右(A))的情况就是：C原本是B的右儿子，让其替换到B的位置，C成为父节点，B成为其左儿子。

此时树就又平衡了。（//没有图，真是不知道怎么解释，如果有图，应该一目了然）

双旋转

双旋转实际就是两次单旋转

对于2和3的情况，单旋转不能使树平衡。（可以画图试试）。所以我们先旋转一次，使其成为1和4的情况。

此时被改变的任然是B，因为它不平衡了嘛。而此时不是用B的儿子C来代替B，而是用C的儿子节点来替换B。

若A就是C的儿子节点，则直接用A代替B，若A不是C的儿子节点，则再引入C的一个儿子节点D来进行讨论。

若A是C的左子节点（即A在C的左子树上），则D为C的左儿子节点。同理，若A是C的右子节点（即A在C的右子树上），则D为C的右儿子节点。

此时用D来代替B。

再让树满足二叉查找树的基本条件后，树就右平衡了。

本篇不敢标记为转载，因为不是照打书上的类容，上面均是个人理解。勿盲信！

伸展树

  按照前面所说，为了避免二叉树太容易变得很深，提出了AVL树。但是现实操作中，二叉树并不是那么容易变的极端深（你不能每次插入都往左节点去吧）。也就说我们可能并不需要频繁的去进行旋转操作。   伸展树的基本想法是，当一个节点被访问，它就要经过一系列的AVL树的旋转被推到根上。