蓝桥杯 ALGO-3 K好数

2024年6月9日 105次阅读

  算法训练 K好数  

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问题描述

如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字，那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。例如K = 4，L = 2的时候，所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大，请你输出它对1000000007取模后的值。

输入格式

输入包含两个正整数，K和L。

输出格式

输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的值。

样例输入

4 2

样例输出

7

数据规模与约定

对于30%的数据，KL <= 106；

对于50%的数据，K <= 16， L <= 10；

对于100%的数据，1 <= K,L <= 100。

分析：首先我们将四进制下1-3位的K好数写出来，这里把0为开头的K好数也写出来了。

0123
00 02 0311 1320 2230 31 33

000 002 003

020 022

030 031 033

111 113

130 131 133

200 202 203

220 222

300 302 303

311 313

330 331 333

……………………

从中可以发现规律：每一个L位K好数都是在L-1位的K好数之上通过某种方式变化得来的。2位的K好数，是由两两不相邻的数组成。3位的K好数是在2位K好数最后添加不相邻的数得来的。

进一步归纳，可得：

0123
0+0 0+2 0+31+1 1+32+0 2+23+0 3+1 3+3

0+00 0+02 0+03

0+20 0+22

0+30 0+31 0+33

1+11 1+13

1+30 1+31 1+33

2+00 2+02 2+03

2+20 2+22

3+00 3+02 3+03

3+11 3+13

3+30 3+31 3+33

……………………

可以由此获得递归方程。最后第L行输出除第0列以外的数值的和即可得到答案。

代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#define M 1000000007
using namespace std;
int dp[101][101] = { 0 };
int main() {
	int K, L;
	cin >> K >> L;
	for (int i = 0; i < K; i++) {
		dp[1][i] = 1;
	}
	for (int i = 2; i <= L; i++) {
		for (int j = 0; j < K; j++) {
			for (int k = 0; k < K; k++) {
				if (abs(j - k) != 1) {
					dp[i][j] += dp[i - 1][k];
					dp[i][j] %= M;
				}
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i < K; i++) {
		ans += dp[L][i];
		ans %= M;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

 

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