一个动归的例子--最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence,lis）

2024年6月9日 104次阅读

难度评级：★

 　　对于一个序列如1，-1，2，-3，4，-5，6，-7，其最长第增子序列为1,2,4,6。

解法：

　　除了利用3中lcs来求解，这里使用求解lis问题的专门方法。

　　先看看如何确定子结构的表示。对于长度为k的序列s[1…k]，如果用lis[k]记录这个序列中最长子序列似乎没什么用，因为在构造lis[k+1]时，需要比较s[k]与前面长度为lis[k]的lis的最后一个元素、s[1…k]中长度为lis[k]-1的序列的最后一个元素等等，没有提供什么便利，这个方案被否决。

　　为了将每个lis[k]转化为构造lis[k+1]时有用的数据，把子结构记为以s[k]为结尾的lis的长度，那么对于s[k+1]，需要检查所有在它前面且小于它的元素s[i]，并令lis[k+1] = max(lis[i]+1),（i=1 to k,s[k+1]>s[i]）。这样，一个O(n2)的算法便写成了。为了在处理完成后不必再一次遍历lis[1…n]，可以使用一个MaxLength变量保存当前记录中最长的lis。

 

基本就是个n*n的时间复杂度，从1到n来遍历一遍整个数组，然后遍历1到i来检验整个lis是不是最长的：

typedef struct {
    int length;
    int prev;
} state;

//算法核心
state *a = malloc(sizeof(state) * n);
for(i=0;i<n;i++) {
    a[i].length = 1;
    a[i].prev = -1;
}

for(i=1;i<n;i++)
    for(j=1;j<i;j++)
        if(array[i]>array[j] && a[i].length < a[j].length + 1)
        {
            a[i].length = a[j].length + 1;
            a[i].prev = j;
            if(a[i].length > max_length) {
                max_length = a[i].length;
                max_end = i;
            }
        }

todo：做一题leetcode上面的最长不重复连续字符串，应该类似

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