KMP算法详解

2019年12月7日 211次阅读

       Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP算法”，常用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置，这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表，故取这3人的姓氏命名此算法。

       KMP算法是在BF算法上的一种优化，它利用之前已经部分匹配这个有效信息，保持i（文本串指针） 不回溯，通过修改j（模式串指针） 的位置，让模式串尽量地移动到有效的位置。

       那么如何修改模式串指针j的位置呢？这里要了解一个叫做next数组的东西，而要知道next数组则要知道如何去寻找字符串前缀后缀的最大公共元素长度。

       首先，要了解两个概念：“前缀”和”后缀”。 “前缀”指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；”后缀”指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

如果给定的模式串是：“ABCDABD”，从左至右遍历整个模式串，其各个子串的前缀后缀分别如下表格所示：
《KMP算法详解》
也就是说，原模式串子串对应的各个前缀后缀的公共元素的最大长度表为（下简称《最大长度表》）：
《KMP算法详解》
根据《最大长度表》求next 数组
由上文，我们已经知道，字符串“ABCDABD”各个前缀后缀的最大公共元素长度分别为：
《KMP算法详解》
给定字符串“ABCDABD”，可求得它的next 数组如下：
《KMP算法详解》

把next 数组跟之前求得的最大长度表对比后，不难发现，next 数组相当于“最大长度值” 整体向右移动一位，然后初始值赋为-1。意识到了这一点，你会惊呼原来next 数组的求解竟然如此简单：就是找最大对称长度的前缀后缀，然后整体右移一位，初值赋为-1（当然，你也可以直接计算某个字符对应的next值，就是看这个字符之前的字符串中有多大长度的相同前缀后缀）。

换言之，对于给定的模式串：ABCDABD，它的最大长度表及next 数组分别如下：
《KMP算法详解》
到这里我们已经知道了字符串前缀后缀的最大公共元素长度和它与next数组的关系，和如何去求next数组，下面给出next数组的代码：

void Get_Next(char *p,int next[]) //next数组的求法 
{
    next[0]=-1;                   //next数组初始值为-1； 
	int k=-1,j=0;                 //next的前缀指针k,和后缀指针j 
	int plen=strlen(p);           //模式串长度 
	
	while(j<plen-1)
	{   //p[k]表示前缀，p[j]表示后缀 
		if(k==-1||p[k]==p[j])
		{
			k++;
			j++;
			next[j]=k; 
		}
		else
		{
			k=next[k];
		}
	}
}

用代码重新计算下“ABCDABD”的next 数组，以验证之前通过“最长相同前缀后缀长度值右移一位，然后初值赋为-1”得到的next 数组是否正确，计算结果如下表格所示：
《KMP算法详解》
代码比较难懂，细细品度，多举几个实例相信也不难理解，KMP算法的关键就是next数组的求法，因为当字符失配时，模式串指针的位置就是其对应next数组的值。

下面给出详细算法：

int KMPsearch(char *T,char *p,int next[])
{
    Get_Next(p,next);     //获取next数组 
	int i=0,j=0;          //主串指针和模式串指针 
	int Tlen=strlen(T);   //主串长度 
	int plen=strlen(p);   //模式串长度 

	while(i<Tlen&&j<plen)
	{
		if(T[i]==p[j]||j==-1)
		{
			i++;
			j++;
		}
		else
		{
			//如果失配，主串指针i保持不变，模式串指针为其对应的next数组的值 
			j=next[j];
		}
	}
	if(j==plen)
	{
		return i-j;
	} 
	else 
		return -1;
	
}

最后举一个例子来说明：

如果给定文本串“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串“ABCDABD”，现在要拿模式串去跟文本串匹配，如下图所示：
《KMP算法详解》
1 因为模式串中的字符A跟文本串中的字符B、B、C、空格一开始就不匹配，所以不必考虑结论，直接将模式串不断的右移一位即可，直到模式串中的字符A跟文本串的第5个字符A匹配成功：
《KMP算法详解》
2. 继续往后匹配，当模式串最后一个字符D跟文本串匹配时失配，显而易见，模式串需要向右移动。但向右移动多少位呢？因为此时已经匹配的字符数为6个（ABCDAB），然后根据《最大长度表》可得失配字符D的上一位字符B对应的长度值为2，所以根据之前的结论，可知需要向右移动6 – 2 = 4 位。
《KMP算法详解》
3. 模式串向右移动4位后，发现C处再度失配，因为此时已经匹配了2个字符（AB），且上一位字符B对应的最大长度值为0，所以向右移动：2 – 0 =2 位。
《KMP算法详解》
4. A与空格失配，向右移动1 位。
《KMP算法详解》
5. 继续比较，发现D与C 失配，故向右移动的位数为：已匹配的字符数6减去上一位字符B对应的最大长度2，即向右移动6 – 2 = 4 位。
《KMP算法详解》
6. 经历第5步后，发现匹配成功，过程结束。
《KMP算法详解》
通过上述匹配过程可以看出，问题的关键就是寻找模式串中最大长度的相同前缀和后缀，找到了模式串中每个字符之前的前缀和后缀公共部分的最大长度后，便可基于此匹配。而这个最大长度便正是next 数组要表达的含义。

点赞