动态规划

2019年12月7日 166次阅读

 

动态规划算法的思想：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。

动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，揹包动规四类。

线性动规：拦截导弹，合唱队形等；

区域动规：石子合并， 统计单词个数，炮兵布阵等；

树形动规：二分查找树，数字三角形，三角树塔等；

揹包问题：01揹包问题，完全揹包问题，等；

经典动态规划算法举例：

1.三角树塔问题。

问题描述：

设有一个三角形的数塔。顶点为根结点。每一个结点有一个整数值。从顶点出发，能够向左走或向右走，要求从根结点开始，请找出一条路径，使路径之和最大。仅仅要输出路径的和。

《动态规划》

当然，正确路径为13——8——26——15——24  （和为86）。

问题解析：

首先，我们用数组保存三角形数塔，并设置距离矩阵d[i][j]，用于保存节点(i,j)到最底层的最长距离，从而，d[1][1]即为根节点到最底层的最大路径的距离。

《动态规划》

实现方法：

方法：递推方式

思想：自底向上的逐步求解（原因在于，这是一个三角形的矩阵形式，向上收缩，便于求解）。

            首先：在最底层，d[n][j]=a[n][j](将最底层的节点到最底层的最长路径距离设置为节点值)。

            然后：逐层向上进行路径距离处理，这里须要注意距离处理公式：

            d[i-1][j] = max{ (d[i][j] + a[i-1][j]), (d[i][j+1] + a[i-1][j]) }

            最后：递推处理路径距离至根节点就可以，这样就建立了一个完整的路径最长距离矩阵，用来保存三角数塔节点到最底层的最长路径距离。

代码展示：

#动态规划算法
from string import Template
import numpy as np
class triangle_dynatic():
    def main(self,data):
        #data塔的原始数据，dp存储动态数据
        dp = np.zeros(np.array(data).shape)
        #n为行数，在这里相当于塔数
        n,m = np.array(data).shape
        #初始化dp
        #下面这个循环相当于把data的最后一行付给了dp的最后一行，就是从最后一行向上递归
        for i in range(m):
            dp[n-1][i] = data[n-1][i]
        print(dp)
        #第一个循环从最底层往上，第二层循环从左向右，在这里从第四层，就是倒数第二层开始向上进行动态规划
        for i in range(n-2,-1,-1):
            for j in range(i+1):
                temp_max = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])
                dp[i][j] = temp_max+data[i][j]
        #打印最终结果
        print('最大的路径和为：\n%d'%dp[0][0])
        #首先输出塔顶元素
        print('最大路径：\n->%d'%data[0][0])
        j = 0
        #依次输出2/3/4/5层的所选路径
        for i in range(1,n):
            node_value = dp[i-1][j]-data[i-1][j]
            #如果node_value == dp[i][j]则说明下一步应该是data[i][j]；
            #如果node_value == dp[i][j + 1]则说明下一步应该是data[i][j + 1]
            if node_value == dp[i][j+1]:
                j = j+1
            print('->%d'%data[i][j])
        
if __name__ == "__main__":
 #data = [[9, 0, 0, 0, 0], [12, 15, 0, 0, 0], [10, 6, 8, 0, 0], [2, 18, 9, 5, 0], [19, 7, 10, 4, 16]]
 data = [[13, 0, 0, 0, 0], [11, 8, 0, 0, 0], [12, 7, 26, 0, 0], [6, 14,15, 8, 0], [12, 7, 13, 24, 11]]
 triangle_dynatic().main(data)

 运行结果：

《动态规划》

 

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