AVL树

【概念】

1、AVL树性质：是带有平衡条件（这个平衡条件必须容易保持，必须保证树的平均深度为O（logN））的二叉查找树。

         一颗AVL树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树。（空树的高度定义为-1）

         插入一个节点可能会破坏AVL树的特性。如果发生这种情况，那么就要把性质恢复后才认为这一步插入完成。

2、旋转：

和其他的树结构一样，AVL树也有插入、删除等操作，这些操作都有可能破坏AVL树的性质，对于经过操作后不满足AVL树性质的，我们通过旋转来恢复其性质。

经过旋转后满足AVL树性质：

1. 对于树中的每个节点X，它的左子树中所有关键字值小于X的关键字值，而它的右子树中的所有关键字值大于X的关键字值。
2. 每个节点的左子树和右子树的高度最多差1

我们通过两种旋转来恢复AVL树的性质。

单旋转：

经过在X子树上的插入操作后，节点K2不满足AVL树的平衡特性，左子树比右子树深2层。为了恢复AVL树的平衡性质，我们需要将X上移一层，而旋转操作还将Z下移了一层（此时其实超出了AVL特性的要求）。

如图为左左单旋转（对称情形类似）。

但是，有些情形通过单旋转并不能修复：

如果新插入的节点在子树Y上，就算经过了上图中的左左单旋转K1节点仍然不平衡。此时我们需要利用双旋转（本质是两次单旋转）将其修复。

双旋转：

如图是左右双旋转（对称情形类似）先在K1处经过右右单旋转，再在K3处经过左左单旋转，最后恢复AVL树的平衡性质。

【程序】

 #include "avltree.h" #include <stdlib.h> #include "fatal.h" struct AvlNode { ElementType Element; AvlTree Left; AvlTree Right; int Height; }; AvlTree MakeEmpty( AvlTree T ) { if( T != NULL ) { MakeEmpty( T->Left ); MakeEmpty( T->Right ); free( T ); } return NULL; } Position Find( ElementType X, AvlTree T ) { if( T == NULL ) return NULL; if( X < T->Element ) return Find( X, T->Left ); else if( X > T->Element ) return Find( X, T->Right ); else return T; } Position FindMin( AvlTree T ) { if( T == NULL ) return NULL; else if( T->Left == NULL ) return T; else return FindMin( T->Left ); } Position FindMax( AvlTree T ) { if( T != NULL ) while( T->Right != NULL ) T = T->Right; return T; } //计算AVL节点的高度的函数 static int Height( Position P ) { if( P == NULL ) return -1; else return P->Height; } //返回俩数中较大的一个 static int Max( int Lhs, int Rhs ) { return Lhs > Rhs ? Lhs : Rhs; } //当插入发生在“外边”的情况，我们可以对树进行一次单旋转恢复其AVL性质 //单旋转分两种：左左单旋转，右右单旋转 //左左单旋转情形，当在K2节点处不满足AVL树性质。 static Position SingleRotateWithLeft( Position K2 ) { Position K1; K1 = K2->Left; K2->Left = K1->Right; K1->Right = K2; K2->Height = Max( Height( K2->Left ), Height( K2->Right ) ) + 1; K1->Height = Max( Height( K1->Left ), K2->Height ) + 1; return K1; /* New root */ } //右右单旋转情形：在K1处不满足AVL树的性质 static Position SingleRotateWithRight( Position K1 ) { Position K2; K2 = K1->Right; K1->Right = K2->Left; K2->Left = K1; K1->Height = Max( Height( K1->Left ), Height( K1->Right ) ) + 1; K2->Height = Max( Height( K2->Right ), K1->Height ) + 1; return K2; /* New root */ } //当插入发生在“内部”的情况，我们可以对树进行双旋转来恢复其AVL性质 //双旋转分两种：左右双旋转和右左双旋转 //左右双旋转情形： //先右右单旋转再左左单旋转。 static Position DoubleRotateWithLeft( Position K3 )//左右 { /* Rotate between K1 and K2 */ K3->Left = SingleRotateWithRight( K3->Left ); /* Rotate between K3 and K2 */ return SingleRotateWithLeft( K3 ); } //右左双旋转情形： //先左左单旋转再右右单旋转 static Position DoubleRotateWithRight( Position K1 )//右左 { /* Rotate between K3 and K2 */ K1->Right = SingleRotateWithLeft( K1->Right ); /* Rotate between K1 and K2 */ return SingleRotateWithRight( K1 ); } //插入操作（所有的插入都是在叶子节点上进行的） AvlTree Insert( ElementType X, AvlTree T ) { if( T == NULL )//如果树为空，则直接插入 { /* Create and return a one-node tree */ T = malloc( sizeof( struct AvlNode ) ); if( T == NULL ) FatalError( "Out of space!!!" ); else { T->Element = X; T->Height = 0; T->Left = T->Right = NULL; } } else if( X < T->Element ) { T->Left = Insert( X, T->Left ); if( Height( T->Left ) - Height( T->Right ) == 2 )//判断AVL条件是否满足 if( X < T->Left->Element )//X < T->Right->Element与上边的X < T->Element来共同确定是单旋转还是双旋转 T = SingleRotateWithLeft( T );//左左 else T = DoubleRotateWithLeft( T );//左右 } else if( X > T->Element )// X > T->Element { T->Right = Insert( X, T->Right ); if( Height( T->Right ) - Height( T->Left ) == 2 ) if( X > T->Right->Element )//X > T->Right->Element与上边的X > T->Element来共同确定是单旋转还是双旋转 T = SingleRotateWithRight( T );//右右 else T = DoubleRotateWithRight( T );//右左，T为失衡节点 } /* Else X is in the tree already; we'll do nothing */ T->Height = Max( Height( T->Left ), Height( T->Right ) ) + 1; return T; } ElementType Retrieve( Position P )//取位置P处的元素 { return P->Element; }

以上为部分关键代码，完整程序代码可以在https://github.com/mazilaile下载

【程序分析】

结合插入程序分析单双旋转例程：

单旋转程序分析：

向上图树中插入6，插入程序AvlTree Insert( ElementType X, AvlTree T )先判断树不为空。（[1层]为递归调用的层次）

[1层]再判断插入的元素大于元素T（即根处的元素5），递归调用Insert( X, T->Right )。

[2层]再次进行判断树不为空，插入的元素小于元素T（即元素8），递归调用Insert( X, T->Left )。

[3层]再次进行判断树不为空，插入的元素小于元素T（即元素7），递归调用Insert( X, T->Left )。

[3层]此时，树空，直接将6插入，更新高度为0，返回上一层（即元素7所在的一层）。

[2层]进行判断，并没有破坏AVL树性质，更新高度为1，返回上一层（即元素8所在的一层）。

[1层]进行判断，破坏了AVL树性质，右子树高度比左子树高度大二。所以要进行旋转恢复AVL树的性质。那么采用单旋转还是双旋转？之前判断过插入元素是小于该层元素8的，再将插入   元素与该层元素的左子树上的根元素比较if( X < T->Left->Element )，如果小于则属于左左情形，进行左左单旋转恢复AVL树的性质，如果大于属于左右双旋转情形，则先进行右右旋转再进行左左旋转进行恢复AVL树的性质。很明显，这里属于左左情形，我们进行单旋转将AVL树的性质进行恢复：

此时，程序中的T即为8（也即SingleRotateWithLeft( Position K2 )函数中的K2），我们先将K2（即8）的左儿子7保存在K1中，再将K2（即8）的左儿子赋值为K1的右儿子（即为空），最后将K1的右儿子赋值为K2。

最后，我们再将节点高度进行更新，这时我们便恢复了AVL树的性质。

双旋转程序分析：

再来看，插入以后需要进行双旋转恢复AVL树的平衡性质。

向上图树中插入14，插入程序AvlTree Insert( ElementType X, AvlTree T )先判断树不为空。

[1层]再判断插入的元素大于元素T（即根处的元素4），递归调用Insert( X, T->Right )。

[2层]再次进行判断树不为空，插入的元素大于元素T（即元素6），递归调用Insert( X, T->Right )。

[3层]再次进行判断树不为空，插入的元素小于元素T（即元素15），递归调用Insert( X, T->Left )。

[4层]再次进行判断树不为空，插入的元素大于元素T（即元素7），递归调用Insert( X, T->Right )。

[4层]此时，树空，直接将14插入，更新高度为0，返回上一层（即元素7所在的一层）。

[3层]进行判断，并没有破坏AVL树性质，更新高度为1，返回上一层（即元素15所在的一层）。

[2层]进行判断，并没有破坏AVL树性质，更新高度为2，返回上一层（即元素6所在的一层）。

[1层]进行判断，破坏了AVL树性质，元素6的右子树高度比左子树高度大二。所以要进行旋转恢复AVL树的性质。那么采用单旋转还是双旋转？之前判断过插入元素是大于该层元素6的，再将插 入元素与该层元素的右子树上的根元素比较if( X < T->Right->Element )，如果大于则属于右右情形，进行右右单旋转恢复AVL树的性质，如果大于属于右左双旋转情形，则先进行左左单旋转再进行右右单旋转来恢复AVL树的性质。很明显，这里属于右左情形，我们进行双旋转将AVL树的性质进行恢复：

此时，程序中的T即为6（也即DoubleRotateWithRight( Position K1 )函数中的K1），我们先对K1（6）的右子树（15）进行左左单旋转：调用程序SingleRotateWithLeft( Position K2 )图中的15（标号K3）即为这里函数的形参K2，我们先将K2（即15）的左儿子7保存在K1中，再将K2的左儿子赋值为K1（7）的右儿子（即为14），最后将K1（7）的右儿子赋值为K2。即得到下图：

再对K1进行右右单旋转：SingleRotateWithRight( Position K1 )6即为这里的K1，我们先将K1（即6）的右儿子7保存在K2中，再将K1（即为6）的右儿子（即为7）赋值为K2的左儿子（即为空），最后再将K2（即为7）的左儿子赋值为K1（即为6）。

最后，我们再将节点高度进行更新，这时我们便恢复了AVL树的性质。