动态规划原理及重构最优解原理

最优子结构

1. 运用动态规划求解最优化问题第一步
   若一个问题的最优解中包含其子问题的最优解，则此问题具有最优解的结构性质。因为使用子问题的最优解构造原问题最优解，所以我们必须确保考察了最优解中用到的所有子问题。

2. 如何发掘最优子结构性质

   1. 证明问题最优解的第一个组成部分是做出一个选择。例如切割钢条的第一次切割位置。做出该选择后，将会产生一个或者多个待解的子问题。
   2. 对于一个给定的问题，在其可能的第一步选择中，假定已经知道哪种徐哲才会得到最优解。此时我们并不关心具体选择时如何得到的，只是假定已经知道了该选择。
   3. 给定了可获得最优解的选择后，我们要确定这次选择将会产生哪些子问题，以及如何最好地刻画子问题空间。
   4. 利用“剪切-粘贴”技术证明（假设法）子问题的最优解就是原问题最优解的一部分。
   5. 刻画子问题空间的好经验就是尽量保持子问题空间尽可能简单，必要时才扩展它,并且我们要保持每个子问题的性质是一样的（ 重点也是难点 ）。

3. 对于不同问题领域，最优子结构的不同体现在两个方面：

   1. 原问题的最优解中设计多少个子问题（子问题总数n），以及
   2. 在确定最优解使用哪些子问题时，我们需要考察多少种选择（每个子问题需要考察多少种选择m）。
   3. 我们可以用 n ∗ m n*m n∗m粗略分析动态规划算法的运行时间。
   4. 同样，子问题图也可以用来做同样的分析—结点代表子问题数，每个结点的出度代表每个子问题所对应的选择数。

注意如何判断问题是否具有最优子结构性质

1. 子问题必须是无关的
   同一个原问题的子问题的解不影响另一个子问题的解（求解一个子问题时，用到了某些资源，则其他子问题在求解时则不可用该资源，若不用该资源问题可以得到解决，则称子问题无关，否则称为子问题相关）。

子问题重叠

1. 子问题空间必须足够“小”，在递归过程中的特征就是会反复求解相同的子问题，而不是一直生成新的子问题。如果采用递归形式，若要解决重复计算相同子问题的问题，则可以采用“备份”的方式，对每个子问题之求解一次，下次遇到相同的子问题时，只要返回之前解决过的相同子问题的结果即可。这样可以大大减少运行时间。

重构最优解

1. 若要重构最优解，则我们可以将每个子问题所做出的的选择存在一个表中，这样就不必根据代价值来重新计算来重构这些信息，从而减少运行时间。这个表的规模要与子问题规模一致。具体输出最优解的方案，需要结合子结构性质，大部分情况下需要采取递归形式来输出最优解方案。