AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，其查找和删除的时间复杂度为logn,是对二叉查找树的改进，我们将节点的左子树和右子树深度之差称为平衡因子（BF），其中的每一个节点的平衡因子的绝对值不大于1。

距离插入节点最近的，并且平衡因子绝对值大于1的节点为根的子树，称为最小不平衡子树。

要实现AVL树，就必须保证在插入的时候消除不平衡的子树，即通过某种方式，使每次插入一个节点，都是平衡的BST树，下面我们讨论一下插入的时候四种情况：

 1：对左孩子的左子树进行一次插入；

 2：对左孩子的右子树进行一次插入；

 3：对右孩子的左子树进行一次插入；

 4：对右孩子的右子树进行一次插入；

其中情况1和情况4是关于镜像对称的，情况2和情况3是关于镜像对称的，

由于图片原因，我就上了几张不好看的图片，其中x，y,z和A,B,C,D为对应的节点的孩子，我直接对四种情况进行讲解：

 情况1：假设节点k1,k1的左孩子k2,

        单右旋转：对k1节点的左孩子k2的左子树进行插入，这样使得k1的BF为2，此时最小不平衡子树是以k1为根节点的子树，因此对其进行右旋转操作，使得新子树的根节点为原节点的左孩子即k2，k2的右孩子为k1,k1的左孩子为原子树中k2的右孩子；

情况2：假设节点k1,k1的左孩子k3,k3的右孩子k2,

        双左旋转：对以k2为根节点的子树进行插入操作，这时最小的不平衡子树是以k1为根节点的子树，但是单纯的左旋转不能解决问题，这和情况1有所区别，其原因在于K1的BF为2，而K3的BF为-1，两者的符号不一致，导致了不能只是进行一次旋转，所以分为两次旋转：

        1：先对以K3为根节点的子树进行左旋转，

         2：再对以K1为根节点的子树进行右旋转，

 得到图中所示的结果，此时K2左子树B是K3右子树，K2右子树C是K1左子树，K2左孩子为K3,K2右孩子为K1;

  情况3：

假设节点k1,k1的右孩子k3,k3的左孩子k2,

        双右旋转：对以k2为根节点的子树进行插入操作，这时最小的不平衡子树是以k1为根节点的子树，但是单纯的左旋转不能解决问题，这和情况1有所区别，其原因在于K1的BF为-2，而K3的BF为1，两者的符号不一致，导致了不能只是进行一次旋转，所以分为两次旋转：

        1：先对以K3为根节点的子树进行右旋转，

         2：再对以K1为根节点的子树进行左旋转，

 得到图中所示的结果，此时K2右子树C是K3左子树，K2左子树B是K1右子树，K2左孩子为K1,K2右孩子为K3;

情况1：假设节点k1,k1的左孩子k2,

        单右旋转：对k1节点的左孩子k2的左子树进行插入，这样使得k1的BF为2，此时最小不平衡子树是以k1为根节点的子树，因此对其进行右旋转操作，使得新子树的根节点为原节点的左孩子即k2，k2的右孩子为k1,k1的左孩子为k2的右孩子；

情况4：假设节点k1,k1的右孩子k2,

        单右旋转：对k1节点的右孩子k2的左子树进行插入，这样使得k1的BF为-2，此时最小不平衡子树是以k1为根节点的子树，因此对其进行左旋转操作，使得新子树的根节点为原节点的右孩子即k2，k2的左孩子为k1,k1的左孩子为原子树中k2的左孩子；

       下面是Java代码实现：

package data_structure;

@SuppressWarnings("rawtypes")
public class AVL<AnyType extends Comparable> {

	private AVLNode root;
	
	 //定义范型Anytype的大小比较方法
	 
	@SuppressWarnings("unused")
	/*private  class Anytype implements Comparable<AnyType>{

		private AnyType x;
		@Override
		public int compareTo(AnyType o) {
			String s=x.toString();
			String target=o.toString();
			return s.compareTo(target);
		}
		
	}*/
	private  class AVLNode<AnyType>{
		AnyType element;
		AVLNode<AnyType> left;
		AVLNode<AnyType> right;
		int height;
		
		@SuppressWarnings("unused")
		public AVLNode(AnyType data){
			this(data,null,null);
		}
		
		public AVLNode(AnyType data,AVLNode<AnyType> lc,AVLNode<AnyType> rc){
			element=data;
			left=lc;
			right=rc;
			height=0;
		}
		
	}
	
	private int getHeight(AVLNode<AnyType> t){
		return t==null?-1:t.height;
	}
	
	@SuppressWarnings("unchecked")
	private int compare(AnyType x,AnyType y){
		if(x.compareTo(y)>0)
			return 1;
		else if(x.compareTo(y)<0)
			return -1;
		return 0;
	}
	//单旋转左旋转
	private AVLNode<AnyType> rotateWithLeftChild(AVLNode<AnyType> k1){
		AVLNode<AnyType> k2=k1.right;
		k1.right=k2.left;
		k2.left=k1;
		k2.height=Math.max(getHeight(k2.left), getHeight(k2.right))+1;
		k1.height=Math.max(getHeight(k1.left), getHeight(k1.right))+1;
		return k2;
	}
	//单旋转右旋转
	private AVLNode<AnyType> rotateWithRightChild(AVLNode<AnyType> k1){
		AVLNode<AnyType> k2=k1.left;
		k1.left=k2.right;
		k2.right=k1;
		k2.height=Math.max(getHeight(k2.left), getHeight(k2.right))+1;
		k1.height=Math.max(getHeight(k1.left), getHeight(k1.right))+1;
		return k2;
	}
	//双旋转左旋转，分为两个步骤：先右旋转以右孩子为根的子树，然后左旋转k1
	private AVLNode<AnyType> doubleWithLeftChild(AVLNode<AnyType> k1){
		k1.right=rotateWithRightChild(k1.right);//千万要注意k1.right不要掉了，不然k2丢了
		return rotateWithLeftChild(k1);
	}
	//双旋转右旋转，分为两个步骤：先左旋转以右孩子为根的子树，然后右旋转k1
	private AVLNode<AnyType> doubleWithRightChild(AVLNode<AnyType> k1){
		k1.left=rotateWithLeftChild(k1.left);//千万要注意k1.left不要掉了，不然k2丢了
		return rotateWithRightChild(k1);
	}
	//使用递归的方式插入，每次返回插入子树根节点，x为待插入元素
	@SuppressWarnings("unchecked")
	private AVLNode<AnyType> insert(AnyType x,AVLNode<AnyType> t){
		System.out.print(x+" ");
		if(t==null)
			return new AVLNode(x,null,null);
		int result=compare(x, t.element);
		if(result<0){
			t.left=insert(x, t.left);
			if(getHeight(t.left)-getHeight(t.right)==2)
				if(compare(x, t.left.element)<0)
					t=rotateWithRightChild(t);
			    if(compare(x, t.left.element)>0)
			    	t=doubleWithRightChild(t);
		}
		if(result>0){
			t.right=insert(x, t.right);
			if(getHeight(t.right)-getHeight(t.left)==2)
				if(compare(x,t.right.element)>0)
					t=rotateWithLeftChild(t);
			    if(compare(x,t.right.element)<0)
			    	t=doubleWithLeftChild(t);
		}
		t.height=Math.max(getHeight(t.left), getHeight(t.right))+1;
		return t;
	}
	
	@SuppressWarnings("unchecked")
	private void createAVl(AnyType [] data){
		for(AnyType a:data)
			root=insert(a, root);
	}
	
	private void printTree(AVLNode root){
		if(root==null)
			return ;
		printTree(root.left);
		System.out.print(root.element+"  ");
		printTree(root.right);
	}
	
	public static void main(String []args){
		Integer []data={2,6,8,4,12,45,25,14,28};
		AVL<Integer> avl=new AVL<Integer>();
		avl.createAVl(data);
		System.out.println();
		avl.printTree(avl.root);
	}
}