1.定义

• 二叉树：二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。
• 二叉搜索树：二叉搜索树（Binary Search Tree），它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1.  若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
3. 它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

• 平衡二叉搜索树：平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树，且具有以下性质：

1. 它是一 棵空树
2. 或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

2.平衡二叉搜索树的基本操作：

• 插入元素：需要调整（左单旋，右单旋，左右单旋，右左单旋）以维持树的平衡
• 查找元素
• 删除元素

3.错误报告：

• 在进行左单旋时，应该先将B的右子树分给A的左子树，否则会造成A的左子树是A的死循环（右单旋同理）
• 在进行插入操作后，一点要更新树的高度
• 对于指针为NULL一定要细心处理，切勿遗忘

4.代码示例：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stack>
using namespace std;
typedef struct AVLNode *position;
typedef position AVLTree;
struct AVLNode{
	int data;
	AVLTree left;
	AVLTree right;
	int h;
};
int GetHight(AVLTree A){
	if(A == NULL)	return -1;
	return A->h;
}
//左单旋
AVLTree SLR(AVLTree A){
	AVLTree B = A->left;
	A->left = B->right;
	B->right = A;
	A->h = max(GetHight(A->left),GetHight(A->right))+1;
	B->h = max(GetHight(B->left),GetHight(B->right))+1;
	return B;
} 
//右单旋
AVLTree SRR(AVLTree A){
	AVLTree B = A->right;
	A-> right = B->left;
	B->left = A;
	A->h = max(GetHight(A->left),GetHight(A->right))+1;
	B->h = max(GetHight(B->left),GetHight(B->right))+1;
	return B;
}
//左右双旋
AVLTree DLRR(AVLTree A){
	AVLTree B = A->left;
	A->left = SRR(B);
	return SLR(A);
}
//右左双旋 
AVLTree DRLR(AVLTree A){
	AVLTree B = A->right;
	A->right = SLR(B);
	return SRR(A);
}
AVLTree Insert(AVLTree T,int x){
	if(T == NULL){
		T = new AVLNode();
		T->data = x;
		T->left = NULL;
		T->right = NULL;
		T->h = 0;
	}else if(x < T->data){
		T->left = Insert(T->left,x);
		if(GetHight(T->left) - GetHight(T->right) == 2)
			if(x < T->left->data)	T = SLR(T);
			else T = DLRR(T);
	}else if(x > T->data){
		T->right = Insert(T->right,x);
		if(GetHight(T->left)-GetHight(T->right) == -2)
			if(x > T->right->data)	T = SRR(T);
			else	T = DRLR(T);
	}
	T->h = max(GetHight(T->left),GetHight(T->right))+1;
	return T;
}