AVL树(一)之图文解析和 C语言的实现

2019年3月20日 298次阅读来源: AVL树

出自：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576969.html

概要

本章介绍AVL树。和前面介绍”二叉查找树“的流程一样，本章先对AVL树的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。本篇实现的二叉查找树是C语言版的，后面章节再分别给出C++和Java版本的实现。
建议：若您对”二叉查找树”不熟悉，建议先学完”二叉查找树“再来学习AVL树。

1. AVL树的介绍
2. AVL树的C实现
3. AVL树的C实现(完整源码)
4. AVL树的C测试程序

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更多内容: 数据结构与算法系列目录

(01) AVL树(一)之图文解析和 C语言的实现
(02) AVL树(二)之 C++的实现
(03) AVL树(三)之 Java的实现

AVL树的介绍

AVL树是根据它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。
它是最先发明的自平衡二叉查找树，也被称为高度平衡树。相比于”二叉查找树”，它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。 (关于树的高度等基本概念，请参考”二叉查找树(一)之图文解析和 C语言的实现 “)

上面的两张图片，左边的是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1；而右边的不是AVL树，因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3，而以8为根节点的树的高度是1)。

AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。
如果在AVL树中插入或删除节点后，使得高度之差大于1。此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是一棵二叉树；为了让它重新维持在一个平衡状态，就需要对其进行旋转处理。学AVL树，重点的地方也就是它的旋转算法；在后文的介绍中，再来对它进行详细介绍。

AVL树的C实现

1. 节点

1.1 定义

typedef int Type;

typedef struct AVLTreeNode{
    Type key;                    // 关键字(键值)
    int height;
    struct AVLTreeNode *left;    // 左孩子
    struct AVLTreeNode *right;    // 右孩子
}Node, *AVLTree;

AVL树的节点包括的几个组成对象:
(01) key — 是关键字，是用来对AVL树的节点进行排序的。
(02) left — 是左孩子。
(03) right — 是右孩子。
(04) height — 是高度。

1.2 节点的创建

/*
 * 创建AVL树结点。
 *
 * 参数说明：
 *     key 是键值。
 *     left 是左孩子。
 *     right 是右孩子。
 */
static Node* avltree_create_node(Type key, Node *left, Node* right)
{
    Node* p;

    if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
        return NULL;
    p->key = key;
    p->height = 0;
    p->left = left;
    p->right = right;

    return p;
}

1.3 树的高度

#define HEIGHT(p)    ( (p==NULL) ? 0 : (((Node *)(p))->height) )

/*
 * 获取AVL树的高度
 */
int avltree_height(AVLTree tree)
{
    return HEIGHT(tree);
}

关于高度，有的文章中将”空二叉树的高度定义为-1″，而本文采用维基百科上的定义：树的高度为最大层次。即空的二叉树的高度是0，非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1，根的子节点为第2层，依次类推)。

1.4 比较大小

#define MAX(a, b)    ( (a) > (b) ? (a) : (b) )

2. 旋转
前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：

上图中的4棵树都是”失去平衡的AVL树”，从左往右的情况依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外，还有其它的失去平衡的AVL树，如下图：

上面的两张图都是为了便于理解，而列举的关于”失去平衡的AVL树”的例子。总的来说，AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义：

(1) LL：LeftLeft，也称为”左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LL情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(2) LR：LeftRight，也称为”左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LR情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(3) RL：RightLeft，称为”右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RL情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

(4) RR：RightRight，称为”右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RR情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍”LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)”这4种情况对应的旋转方法。

2.1 LL的旋转

LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转，你可以这样理解为：LL旋转是围绕”失去平衡的AVL根节点”进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着”左孩子，即k1″使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，”k1的右子树”变成”k2的左子树”。

LL的旋转代码

/*
 * LL：左左对应的情况(左单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
static Node* left_left_rotation(AVLTree k2)
{
    AVLTree k1;

    k1 = k2->left;
    k2->left = k1->right;
    k1->right = k2;

    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1;
    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1;

    return k1;
}

2.2 RR的旋转

理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。

RR的旋转代码

/*
 * RR：右右对应的情况(右单旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
static Node* right_right_rotation(AVLTree k1)
{
    AVLTree k2;

    k2 = k1->right;
    k1->right = k2->left;
    k2->left = k1;

    k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1;
    k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1;

    return k2;
}

2.3 LR的旋转

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

第一次旋转是围绕”k1″进行的”RR旋转”，第二次是围绕”k3″进行的”LL旋转”。

LR的旋转代码

/*
 * LR：左右对应的情况(左双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
static Node* left_right_rotation(AVLTree k3)
{
    k3->left = right_right_rotation(k3->left);

    return left_left_rotation(k3);
}

2.4 RL的旋转
RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

第一次旋转是围绕”k3″进行的”LL旋转”，第二次是围绕”k1″进行的”RR旋转”。

RL的旋转代码

/*
 * RL：右左对应的情况(右双旋转)。
 *
 * 返回值：旋转后的根节点
 */
static Node* right_left_rotation(AVLTree k1)
{
    k1->right = left_left_rotation(k1->right);

    return right_right_rotation(k1);
}

3. 插入
插入节点的代码

/* 
 * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree AVL树的根结点
 *     key 插入的结点的键值
 * 返回值：
 *     根节点
 */
Node* avltree_insert(AVLTree tree, Type key)
{
    if (tree == NULL) 
    {
        // 新建节点
        tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL);
        if (tree==NULL)
        {
            printf("ERROR: create avltree node failed!\n");
            return NULL;
        }
    }
    else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
    {
        tree->left = avltree_insert(tree->left, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)
        {
            if (key < tree->left->key)
                tree = left_left_rotation(tree);
            else
                tree = left_right_rotation(tree);
        }
    }
    else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
    {
        tree->right = avltree_insert(tree->right, key);
        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)
        {
            if (key > tree->right->key)
                tree = right_right_rotation(tree);
            else
                tree = right_left_rotation(tree);
        }
    }
    else //key == tree->key)
    {
        printf("添加失败：不允许添加相同的节点！\n");
    }

    tree->height = MAX( HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1;

    return tree;
}

4. 删除
删除节点的代码

/* 
 * 删除结点(z)，返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     ptree AVL树的根结点
 *     z 待删除的结点
 * 返回值：
 *     根节点
 */
static Node* delete_node(AVLTree tree, Node *z)
{
    // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。
    if (tree==NULL || z==NULL)
        return NULL;

    if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中
    {
        tree->left = delete_node(tree->left, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)
        {
            Node *r =  tree->right;
            if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right))
                tree = right_left_rotation(tree);
            else
                tree = right_right_rotation(tree);
        }
    }
    else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中
    {
        tree->right = delete_node(tree->right, z);
        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
        if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)
        {
            Node *l =  tree->left;
            if (HEIGHT(l->right) > HEIGHT(l->left))
                tree = left_right_rotation(tree);
            else
                tree = left_left_rotation(tree);
        }
    }
    else    // tree是对应要删除的节点。
    {
        // tree的左右孩子都非空
        if ((tree->left) && (tree->right))
        {
            if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right))
            {
                // 如果tree的左子树比右子树高；
                // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
                //   (02)将该最大节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最大节点。
                // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                Node *max = avltree_maximum(tree->left);
                tree->key = max->key;
                tree->left = delete_node(tree->left, max);
            }
            else
            {
                // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
                // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
                //   (02)将该最小节点的值赋值给tree。
                //   (03)删除该最小节点。
                // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                Node *min = avltree_maximum(tree->right);
                tree->key = min->key;
                tree->right = delete_node(tree->right, min);
            }
        }
        else
        {
            Node *tmp = tree;
            tree = tree->left ? tree->left : tree->right;
            free(tmp);
        }
    }

    return tree;
}

/* 
 * 删除结点(key是节点值)，返回根节点
 *
 * 参数说明：
 *     tree AVL树的根结点
 *     key 待删除的结点的键值
 * 返回值：
 *     根节点
 */
Node* avltree_delete(AVLTree tree, Type key)
{
    Node *z; 

    if ((z = avltree_search(tree, key)) != NULL)
        tree = delete_node(tree, z);
    return tree;
}

注意：关于AVL树的”前序遍历”、”中序遍历”、”后序遍历”、”最大值”、”最小值”、”查找”、”打印”、”销毁”等接口与”二叉查找树“基本一样，这些操作在”二叉查找树”中已经介绍过了，这里就不再单独介绍了。当然，后文给出的AVL树的完整源码中，有给出这些API的实现代码。这些接口很简单，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！

AVL树的C实现(完整源码)

AVL树的头文件(avltree.h)

《AVL树(一)之图文解析和 C语言的实现》

 1 #ifndef _AVL_TREE_H_
 2 #define _AVL_TREE_H_
 3 
 4 typedef int Type;
 5 
 6 typedef struct AVLTreeNode{
 7     Type key;                    // 关键字(键值)
 8     int height;
 9     struct AVLTreeNode *left;    // 左孩子
10     struct AVLTreeNode *right;    // 右孩子
11 }Node, *AVLTree;
12 
13 // 获取AVL树的高度
14 int avltree_height(AVLTree tree);
15 
16 // 前序遍历"AVL树"
17 void preorder_avltree(AVLTree tree);
18 // 中序遍历"AVL树"
19 void inorder_avltree(AVLTree tree);
20 // 后序遍历"AVL树"
21 void postorder_avltree(AVLTree tree);
22 
23 void print_avltree(AVLTree tree, Type key, int direction);
24 
25 // (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
26 Node* avltree_search(AVLTree x, Type key);
27 // (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
28 Node* iterative_avltree_search(AVLTree x, Type key);
29 
30 // 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
31 Node* avltree_minimum(AVLTree tree);
32 // 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
33 Node* avltree_maximum(AVLTree tree);
34 
35 // 将结点插入到AVL树中，返回根节点
36 Node* avltree_insert(AVLTree tree, Type key);
37 
38 // 删除结点(key是节点值)，返回根节点
39 Node* avltree_delete(AVLTree tree, Type key);
40 
41 // 销毁AVL树
42 void destroy_avltree(AVLTree tree);
43 
44 
45 #endif

AVL树的实现文件(avltree.c)

《AVL树(一)之图文解析和 C语言的实现》

  1 /**
  2  * AVL树(C语言): C语言实现的AVL树。
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2013/11/07
  6  */
  7 
  8 #include <stdio.h>
  9 #include <stdlib.h>
 10 #include "avltree.h"
 11 
 12 #define HEIGHT(p)    ( (p==NULL) ? -1 : (((Node *)(p))->height) )
 13 #define MAX(a, b)    ( (a) > (b) ? (a) : (b) )
 14 
 15 /*
 16  * 获取AVL树的高度
 17  */
 18 int avltree_height(AVLTree tree)
 19 {
 20     return HEIGHT(tree);
 21 }
 22 
 23 /*
 24  * 前序遍历"AVL树"
 25  */
 26 void preorder_avltree(AVLTree tree)
 27 {
 28     if(tree != NULL)
 29     {
 30         printf("%d ", tree->key);
 31         preorder_avltree(tree->left);
 32         preorder_avltree(tree->right);
 33     }
 34 }
 35 
 36 
 37 /*
 38  * 中序遍历"AVL树"
 39  */
 40 void inorder_avltree(AVLTree tree)
 41 {
 42     if(tree != NULL)
 43     {
 44         inorder_avltree(tree->left);
 45         printf("%d ", tree->key);
 46         inorder_avltree(tree->right);
 47     }
 48 }
 49 
 50 /*
 51  * 后序遍历"AVL树"
 52  */
 53 void postorder_avltree(AVLTree tree)
 54 {
 55     if(tree != NULL)
 56     {
 57         postorder_avltree(tree->left);
 58         postorder_avltree(tree->right);
 59         printf("%d ", tree->key);
 60     }
 61 }
 62 
 63 /*
 64  * (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
 65  */
 66 Node* avltree_search(AVLTree x, Type key)
 67 {
 68     if (x==NULL || x->key==key)
 69         return x;
 70 
 71     if (key < x->key)
 72         return avltree_search(x->left, key);
 73     else
 74         return avltree_search(x->right, key);
 75 }
 76 
 77 /*
 78  * (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
 79  */
 80 Node* iterative_avltree_search(AVLTree x, Type key)
 81 {
 82     while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
 83     {
 84         if (key < x->key)
 85             x = x->left;
 86         else
 87             x = x->right;
 88     }
 89 
 90     return x;
 91 }
 92 
 93 /* 
 94  * 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
 95  */
 96 Node* avltree_minimum(AVLTree tree)
 97 {
 98     if (tree == NULL)
 99         return NULL;
100 
101     while(tree->left != NULL)
102         tree = tree->left;
103     return tree;
104 }
105  
106 /* 
107  * 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
108  */
109 Node* avltree_maximum(AVLTree tree)
110 {
111     if (tree == NULL)
112         return NULL;
113 
114     while(tree->right != NULL)
115         tree = tree->right;
116     return tree;
117 }
118 
119 /*
120  * LL：左左对应的情况(左单旋转)。
121  *
122  * 返回值：旋转后的根节点
123  */
124 static Node* left_left_rotation(AVLTree k2)
125 {
126     AVLTree k1;
127 
128     k1 = k2->left;
129     k2->left = k1->right;
130     k1->right = k2;
131 
132     k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1;
133     k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1;
134 
135     return k1;
136 }
137 
138 /*
139  * RR：右右对应的情况(右单旋转)。
140  *
141  * 返回值：旋转后的根节点
142  */
143 static Node* right_right_rotation(AVLTree k1)
144 {
145     AVLTree k2;
146 
147     k2 = k1->right;
148     k1->right = k2->left;
149     k2->left = k1;
150 
151     k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1;
152     k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1;
153 
154     return k2;
155 }
156 
157 /*
158  * LR：左右对应的情况(左双旋转)。
159  *
160  * 返回值：旋转后的根节点
161  */
162 static Node* left_right_rotation(AVLTree k3)
163 {
164     k3->left = right_right_rotation(k3->left);
165 
166     return left_left_rotation(k3);
167 }
168 
169 /*
170  * RL：右左对应的情况(右双旋转)。
171  *
172  * 返回值：旋转后的根节点
173  */
174 static Node* right_left_rotation(AVLTree k1)
175 {
176     k1->right = left_left_rotation(k1->right);
177 
178     return right_right_rotation(k1);
179 }
180 
181 /*
182  * 创建AVL树结点。
183  *
184  * 参数说明：
185  *     key 是键值。
186  *     left 是左孩子。
187  *     right 是右孩子。
188  */
189 static Node* avltree_create_node(Type key, Node *left, Node* right)
190 {
191     Node* p;
192 
193     if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
194         return NULL;
195     p->key = key;
196     p->height = 0;
197     p->left = left;
198     p->right = right;
199 
200     return p;
201 }
202 
203 /* 
204  * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
205  *
206  * 参数说明：
207  *     tree AVL树的根结点
208  *     key 插入的结点的键值
209  * 返回值：
210  *     根节点
211  */
212 Node* avltree_insert(AVLTree tree, Type key)
213 {
214     if (tree == NULL) 
215     {
216         // 新建节点
217         tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL);
218         if (tree==NULL)
219         {
220             printf("ERROR: create avltree node failed!\n");
221             return NULL;
222         }
223     }
224     else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
225     {
226         tree->left = avltree_insert(tree->left, key);
227         // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
228         if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)
229         {
230             if (key < tree->left->key)
231                 tree = left_left_rotation(tree);
232             else
233                 tree = left_right_rotation(tree);
234         }
235     }
236     else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
237     {
238         tree->right = avltree_insert(tree->right, key);
239         // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
240         if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)
241         {
242             if (key > tree->right->key)
243                 tree = right_right_rotation(tree);
244             else
245                 tree = right_left_rotation(tree);
246         }
247     }
248     else //key == tree->key)
249     {
250         printf("添加失败：不允许添加相同的节点！\n");
251     }
252 
253     tree->height = MAX( HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1;
254 
255     return tree;
256 }
257 
258 /* 
259  * 删除结点(z)，返回根节点
260  *
261  * 参数说明：
262  *     ptree AVL树的根结点
263  *     z 待删除的结点
264  * 返回值：
265  *     根节点
266  */
267 static Node* delete_node(AVLTree tree, Node *z)
268 {
269     // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。
270     if (tree==NULL || z==NULL)
271         return NULL;
272 
273     if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中
274     {
275         tree->left = delete_node(tree->left, z);
276         // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
277         if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2)
278         {
279             Node *r =  tree->right;
280             if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right))
281                 tree = right_left_rotation(tree);
282             else
283                 tree = right_right_rotation(tree);
284         }
285     }
286     else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中
287     {
288         tree->right = delete_node(tree->right, z);
289         // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
290         if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2)
291         {
292             Node *l =  tree->left;
293             if (HEIGHT(l->right) > HEIGHT(l->left))
294                 tree = left_right_rotation(tree);
295             else
296                 tree = left_left_rotation(tree);
297         }
298     }
299     else    // tree是对应要删除的节点。
300     {
301         // tree的左右孩子都非空
302         if ((tree->left) && (tree->right))
303         {
304             if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right))
305             {
306                 // 如果tree的左子树比右子树高；
307                 // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
308                 //   (02)将该最大节点的值赋值给tree。
309                 //   (03)删除该最大节点。
310                 // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
311                 // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
312                 Node *max = avltree_maximum(tree->left);
313                 tree->key = max->key;
314                 tree->left = delete_node(tree->left, max);
315             }
316             else
317             {
318                 // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
319                 // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
320                 //   (02)将该最小节点的值赋值给tree。
321                 //   (03)删除该最小节点。
322                 // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
323                 // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
324                 Node *min = avltree_maximum(tree->right);
325                 tree->key = min->key;
326                 tree->right = delete_node(tree->right, min);
327             }
328         }
329         else
330         {
331             Node *tmp = tree;
332             tree = tree->left ? tree->left : tree->right;
333             free(tmp);
334         }
335     }
336 
337     return tree;
338 }
339 
340 /* 
341  * 删除结点(key是节点值)，返回根节点
342  *
343  * 参数说明：
344  *     tree AVL树的根结点
345  *     key 待删除的结点的键值
346  * 返回值：
347  *     根节点
348  */
349 Node* avltree_delete(AVLTree tree, Type key)
350 {
351     Node *z; 
352 
353     if ((z = avltree_search(tree, key)) != NULL)
354         tree = delete_node(tree, z);
355     return tree;
356 }
357 
358 /* 
359  * 销毁AVL树
360  */
361 void destroy_avltree(AVLTree tree)
362 {
363     if (tree==NULL)
364         return ;
365 
366     if (tree->left != NULL)
367         destroy_avltree(tree->left);
368     if (tree->right != NULL)
369         destroy_avltree(tree->right);
370 
371     free(tree);
372 }
373 
374 /*
375  * 打印"AVL树"
376  *
377  * tree       -- AVL树的节点
378  * key        -- 节点的键值 
379  * direction  --  0，表示该节点是根节点;
380  *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
381  *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
382  */
383 void print_avltree(AVLTree tree, Type key, int direction)
384 {
385     if(tree != NULL)
386     {
387         if(direction==0)    // tree是根节点
388             printf("%2d is root\n", tree->key, key);
389         else                // tree是分支节点
390             printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");
391 
392         print_avltree(tree->left, tree->key, -1);
393         print_avltree(tree->right,tree->key,  1);
394     }
395 }

AVL树的测试程序(avltree_test.c)

《AVL树(一)之图文解析和 C语言的实现》

 1 /**
 2  * C 语言: AVL树
 3  *
 4  * @author skywang
 5  * @date 2013/11/07
 6  */
 7 #include <stdio.h>
 8 #include "avltree.h"
 9 
10 static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9};
11 #define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
12 
13 void main()
14 {
15     int i,ilen;
16     AVLTree root=NULL;
17 
18     printf("== 高度: %d\n", avltree_height(root));
19     printf("== 依次添加: ");
20     ilen = TBL_SIZE(arr);
21     for(i=0; i<ilen; i++)
22     {
23         printf("%d ", arr[i]);
24         root = avltree_insert(root, arr[i]);
25     }
26 
27     printf("\n== 前序遍历: ");
28     preorder_avltree(root);
29 
30     printf("\n== 中序遍历: ");
31     inorder_avltree(root);
32 
33     printf("\n== 后序遍历: ");
34     postorder_avltree(root);
35     printf("\n");
36 
37     printf("== 高度: %d\n", avltree_height(root));
38     printf("== 最小值: %d\n", avltree_minimum(root)->key);
39     printf("== 最大值: %d\n", avltree_maximum(root)->key);
40     printf("== 树的详细信息: \n");
41     print_avltree(root, root->key, 0);
42 
43 
44     i = 8;
45     printf("\n== 删除根节点: %d", i);
46     root = avltree_delete(root, i);
47 
48     printf("\n== 高度: %d", avltree_height(root));
49     printf("\n== 中序遍历: ");
50     inorder_avltree(root);
51     printf("\n== 树的详细信息: \n");
52     print_avltree(root, root->key, 0);
53 
54     // 销毁二叉树
55     destroy_avltree(root);
56 }

AVL树的C测试程序

AVL树的测试程序运行结果如下：

== 依次添加: 3 2 1 4 5 6 7 16 15 14 13 12 11 10 8 9 
== 前序遍历: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16 
== 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
== 后序遍历: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7 
== 高度: 5
== 最小值: 1
== 最大值: 16
== 树的详细信息: 
 7 is root
 4 is  7's   left child
 2 is  4's   left child
 1 is  2's   left child
 3 is  2's  right child
 6 is  4's  right child
 5 is  6's   left child
13 is  7's  right child
11 is 13's   left child
 9 is 11's   left child
 8 is  9's   left child
10 is  9's  right child
12 is 11's  right child
15 is 13's  right child
14 is 15's   left child
16 is 15's  right child

== 删除根节点: 8
== 高度: 5
== 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 
== 树的详细信息: 
 7 is root
 4 is  7's   left child
 2 is  4's   left child
 1 is  2's   left child
 3 is  2's  right child
 6 is  4's  right child
 5 is  6's   left child
13 is  7's  right child
11 is 13's   left child
 9 is 11's   left child
10 is  9's  right child
12 is 11's  right child
15 is 13's  right child
14 is 15's   left child
16 is 15's  right child

下面，我们对测试程序的流程进行分析！

1. 新建AVL树
新建AVL树的根节点root。

2. 依次添加”3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9” 到AVL树中，过程如下。
2.01 添加3,2
添加3,2都不会破坏AVL树的平衡性。

2.02 添加1
添加1之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

2.03 添加4
添加4不会破坏AVL树的平衡性。

2.04 添加5
添加5之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

2.05 添加6
添加6之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

2.06 添加7
添加7之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

2.07 添加16
添加16不会破坏AVL树的平衡性。

2.08 添加15
添加15之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

2.09 添加14
添加14之后，AVL树失去平衡(RL)，此时需要对AVL树进行旋转(RL旋转)。旋转过程如下：

2.10 添加13
添加13之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

2.11 添加12
添加12之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

2.12 添加11
添加11之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

2.13 添加10
添加10之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

2.14 添加8
添加8不会破坏AVL树的平衡性。

2.15 添加9
但是添加9之后，AVL树失去平衡(LR)，此时需要对AVL树进行旋转(LR旋转)。旋转过程如下：

3. 打印树的信息
输出下面树的信息：

前序遍历: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16
中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
后序遍历: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7
高度: 5
最小值: 1
最大值: 16

4. 删除节点8

删除操作并不会造成AVL树的不平衡。

删除节点8之后，在打印该AVL树的信息。
高度: 5
中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16

    原文作者：AVL树
    原文地址: https://blog.csdn.net/xiedeacc/article/details/27946037
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