回溯思想——八皇后问题

2019年11月23日 193次阅读

首先描述一下8皇后问题：

        在8×8的国际象棋棋盘上，放上八个皇后，使得每一个皇后都不能直接吃掉其他的皇后。在国际象棋中，皇后可以吃掉同行、列、45°线、135°线上的其他子。

介绍一下回溯法：

        回溯法与穷举法非常相似，只是通过“剪枝”的思想，减少穷举的次数。可以将回溯法理解为一种加强版的穷举法。

        首先来介绍一下穷举法解八皇后问题，可以这样想：任意两个皇后不能放在同一行，故8个皇后一定放在不同的8行中，每个皇后放的时候又有8个位置可以选择，所以穷举法应该是这样的逻辑：

for  1  ---->   8                                 //放第1行
    for  1  ---->   8                             //放第2行
        for  1  ---->   8                         //放第3行
            for  1  ---->   8                     //放第4行
                for  1  ---->   8                 //放第5行
                    for  1  ---->   8             //放第6行
                        for  1  ---->   8         //放第7行
                            for  1  ---->   8     //放第8行
                                judge_quene()     //判断摆放合法

        共有8^8种情况，这显然有些多。仔细分析如果第1次和第2次皇后分别放在了如图红色、蓝色的位置：

                《回溯思想——八皇后问题》

        这个时候已经违背了放置规则，那么余下6行的8^6种情况就一定都是不符合要求的，这就大大浪费了计算资源。合理的做法应该是这样：当蓝色的皇后放下时，判断一下当前位置是否合理，不合理则将这种情况对应的后6行的操作都放弃，将蓝色皇后从棋盘中拿出，继续流程(放到黄色位置)。

        这就是回溯法的主要思想——在每次操作后对本次操作进行一次判断，当本次操作已经违背了规则，则本次操作所对应的之后的操作就全都放弃不要了（这个过程称为“剪枝”）。当完成了一条“枝”的全部可行情况的遍历后，把本“枝”去掉（这个过程称为“回溯”），换下一个条“枝”继续。

        有了回溯思想，就可以把程序的逻辑变成这个样子：

            《回溯思想——八皇后问题》

        算法上使用递归法是最方便的，递归的跳出条件是：未被“剪枝”的行完成了1至8列的遍历。

        记录时使用：

                char quene_array[8];

        矩阵的行号代表棋盘的行号，矩阵的值代表对应行中皇后被放置在哪个列。递归函数如下：

void quene(char line, char * quene_array)
{
    int i;
    for (i = 0; i < 8; i++) {
        if (put_quene_judge(quene_array, line, i)) {
            quene_array[line] = i;                          //合法放置
            line++;
        }
        else {
            continue;                                       //剪枝动作
        }
        if (line == 8) {                                    //第8行完成了合法放置输出摆放方式
            num++;
            printf("The %d way is:\n", num);
            print_quene(quene_array);
        }
        else {
            quene(line, quene_array);                       //合法放置则继续递归
            line--;                                         //回溯动作
        }
    }
}

        最后介绍一下䙓放合法性的判断函数。判断时遍历放置的所有皇后，假设已放置的皇后行号和列号为（a1，b1），本次放置的皇后行列号为（a2，b2），则需要满足：

        1、b1 ！= b2

        2、b1 – b2 ！= a1 – a2 45°对角线情况

        3、b1 – b2 ！= a2 – a1 125°对角线情况

判断程序片段如下：

	
//皇后放置合法性判断函数
char put_quene_judge(char *quene_array, char line, char num)
{
    int i;
    for (i = 0; i < line; i++) {
        if ((quene_array[i] == num) 
            || (line - i == num - quene_array[i]) 
            || (line - i == quene_array[i] - num))
            return 0;
    }
    return 1;
}

总结：

        本文通过八皇后的例子，说明了使用“剪枝”的思想，将穷举法升级为回溯法。在穷举实例数量很多，但符合条件实例却很少时，往往会使用回溯法。

附上完整的c语言程序：

#include

int num;        //全局变量，累加记录有几种可行的放置方法

//皇后位置打印
void print_quene(char *quene_array)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < 8; i++) {
        for (j = 0; j < 8; j++) {
            if (j == quene_array[i]) {
                printf(" O");
            }
            else {
                printf(" X");
            }
        }
        printf("\n");
    }
}

//皇后放置合法性判断函数
char put_quene_judge(char *quene_array, char line, char num)
{
    int i;
    for (i = 0; i < line; i++) {
        if ((quene_array[i] == num) 
            || (line - i == num - quene_array[i]) 
            || (line - i == quene_array[i] - num))
            return 0;
    }
    return 1;
}

void quene(char line, char * quene_array)
{
    int i;
    for (i = 0; i < 8; i++) {
        if (put_quene_judge(quene_array, line, i)) {
            quene_array[line] = i;                          //合法放置
            line++;
        }
        else {
            continue;                                       //剪枝动作
        }
        if (line == 8) {                                    //第8行完成了合法放置输出摆放方式
            num++;
            printf("The %d way is:\n", num);
            print_quene(quene_array);
        }
        else {
            quene(line, quene_array);                       //合法放置则继续递归
            line--;                                         //回溯动作
        }
    }
}

void main()
{
    char quene_array[8];
    num = 0;
    quene(0, quene_array);
}

 

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