拜占庭(Byzantine)将军问题

拜占庭帝国就是5～15世纪的东罗马帝国，拜占庭即现在土耳其的伊斯坦布尔。我们可以想象，拜占庭军队有许多分支，驻扎在敌人城外，每一分支由各自的将军指挥。将军们只能靠通讯员进行通讯。在观察了敌人以后，忠诚的将军们必须制订一个统一的行动计划。然而，这些将军中有叛徒，他们不希望忠诚的将军们能达成一致，因而影响统一行动计划的制订与传播。问题是：将军们必须有一个算法，使所有忠诚的将军们能够达成一致，而且少数几个叛徒不能使忠诚的将军们做出错误的计划。

解决拜占庭将军问题的算法必须保证：

A．所有忠诚的将军必须基于相同的行动计划做出决策。

   忠诚的将军按算法的要求行动，而叛徒则按他们自己的意志行动。算法要保证不管叛徒怎么做，条件A都能得到保证。忠诚的将军们不但要能达成一致，而且要同意一个合理的计划。这就要求条件B。

B．少数叛徒不能使忠诚的将军做出错误的计划。

这一条是很难做到的，因为“错误的计划”很难形式地加以定义。

我们考虑将军们怎么达成一致。设有n个将军，v(i)表示第i个将军送出的信息。每个将军用相同的方法把v(1),…,v(n)按某一种逻辑方式组合起来，形成一个行动计划。要满足条件A，将军们就必须用同样的方法来组合这些信息。而条件B要求使用的方法是健壮的。考虑最简单的情况，如果决定只有进攻和撤退两种可能，v(t)就是将军认为选择那一种行动最好，而最后的决定则基于多数表决。少数叛徒只有在忠诚的将军们几乎随机地（每一种选择的概率都是1/2）做出决策时才能影响决策，但既然每一种选择的概率都是1/2，那就不管怎么决策都不能说是坏的。

如果把第i个将军的信息v(i)送给其他将军。由于条件A要求每一个忠诚的将军得到v(1),…,v(n)相同的值，而叛徒将军可以给不同的将军送不同的值。为了使条件A得到满足，下面两条必须成立。

1．每一个忠诚的将军得到v(1),…,v(n)相同的值。

这就意味着忠诚的将军并不一定使用第i个将军送来的信息作为v(i)。因为第i个将军可能是叛徒。但这又可能使忠诚的将军送来的信息也被修改，因为忠诚的将军并不知道第i个将军是忠诚的，还是叛徒。如果要满足条件B，这是不能允许的。例如，我们不能因为少数叛徒说“撤退”，忠诚的将军说“进攻”，而做出“撤退”的决定。因此，要求

2．对每一个 i，如果第i个将军是忠诚的，其他忠诚的将军必须以他送出的值作为v(i).

我们可以重写条件1如下。

1’。 对每一个 i，不论第i个将军是忠诚的，或是叛徒，任何两个忠诚的将军使用相同的值v(i).

条件1’和2都只牵涉到第i个将军怎么送一个值v(i)给其他的将军。因此，我们可以用司令送命令给副官的方式叙述如下：

拜占庭将军问题：一个司令要送一个命令给他的n-1个副官，使得

IC1。所有忠诚的副官遵守同一个命令。

IC2。假如司令是忠诚的，则每一个忠诚的副官遵守他送出的该命令。

条件IC1和IC2称为交互一致性条件。注意，如果司令是忠诚的，IC1可以从IC2推出来。但是，司令并不一定是忠诚的。

这个问题比过去的容错更困难。因为过去的容错都是针对那样一些软硬件故障，其故障效果是固定的。而拜占庭故障却假定故障机是鲜活的，它可以做坏事。

拜占庭将军问题的可解性

（1）叛徒数大于或等于1/3，拜占庭问题不可解
如果有三位将军，一位副官是叛徒，如图1所示。当司令发进攻命令时，副官2可能告诉副官1，他收到的是“撤退”的命令。这时副官1收到一个“进攻”的命令，一个“撤退”的命令，而无所适从。
如果司令是叛徒，如图2所示。他告诉副官1“进攻”，告诉副官2“撤退”。当副官2告诉副官1，他收到“撤退”命令时，副官1由于收到了司令“进攻”的命令，而无法与副官2保持一致。
正由于上述原因，在三模冗余系统中，如果允许一机有拜占庭故障，即叛徒数等于1/3，因而，拜占庭问题不可解。也就是说，三模冗余对付不了拜占庭故障。三模冗余只能容故障-冻结(fail-frost)那类的故障,就是说，元件故障后，它就冻结在某一个状态不动了。对付这类故障，用三模冗余比较有效。
 (2) 用口头信息，如果叛徒数少于1/3，拜占庭问题可解
注意，这里说“少于1/3”表明，要对付一个叛徒，至少要用四模冗余。在四模中有一个叛徒，叛徒数是少于1/3的。所谓口头信息，是指它满足三个条件：① 传送正确，② 接收者知道是谁发的。③ 沉默（不发信息）可以被检测。拜占庭问题可解是指：所有忠诚的副官遵循同一命令。若司令是忠诚的，则所有忠诚副官遵循其命令。我们可以给出一个多项式复杂性的算法来解这一问题。算法的中心思想很简单，就是司令把命令发给每一副官，各副官又将收到的司令的命令转告给其他副官，递归下去，最后用多数表决。如图3所示。如果司令是忠诚的，他送一个命令v给所有副官。若副官3是叛徒，当他转告给副官2时命令可能变成x。但副官2收到{v, v, x}，多数表决以后仍为v，忠诚的副官可达成一致。如果司令是叛徒，如图4所示。他发给副官们的命令可能互不相同，为x, y, z。当副官们互相转告司令发来的信息时，他们会发现，他们收到的都是{x,y,z}，因而也取得了一致。 
 
   
 
（3）用书写信息，如果至少有2/3的将军是忠诚的，拜占庭问题可解
所谓书写信息，是指带签名的信息，即可认证的信息。它是在口头信息的基础上，增加两个条件：① 忠诚司令的签名不能伪造，内容修改可被检测。② 任何人都可以识别司令的签名，叛徒可以伪造叛徒司令的签名。一种已经给出的算法是接收者收到信息后，签上自己的名字后再发给别人。由于书写信息的保密性，可以证明，用书写信息，如果至少有2/3的将军是忠诚的，拜占庭问题可解。
如图5所示。如果司令是叛徒，他送“进攻”命令给副官1，并带有他的签名0，送“撤退”命令给副官2，也带签名0。副官们转送时也带了签名。于是副官1收到{“进攻”：0，“撤退”：0,2}，说明司令发给自己的命令是“进攻”，而发给副官2的命令是“撤退”，司令对我们发出了不同的命令。对副官2也同样。