我参加了我们想学院的一个工作室，下面是第二次面试的试题，给了我们两天时间去准备：

我们手中有一个大小为N的整数集合I。其中的整数为1,2,…,N，在这N个数的排列中。有的排列满足性质：该排列中除了最后一个整数外的每个整数后面都跟有（不必直接紧跟）一个同它相差为1的整数。例如：N=5.排列51432是满足该性质的，而52431则不满足。

1)任给一个N，能够得出对应于N的满足上述性质的排列个数吗？

2）设有一个N个数的排列，已知其中P（P<=N）个位置上的数。求共有多少个满足上述性质的排列.例如：N=5，且已知第一位，第二位，第三位分别是5，1和4。则51432,51423就是满足上述性质的两个排列.

对于这种题目，穷举法是绝对不行的了，因为问题规模的增长是N！，要多可怕就有多可怕。

我最初的想法是用图论的方法来做，考虑N个标上编码的点，要求找出所有符合如下要求的单向路径的数量：除了最后一个点之外，每一个点都与编号和该点编号相差1的点单连通。

我认为这个思路是可行的，但是我没有根据这种思路做出来。姑且留待以后进行研究。

然后我采用最基本的方法来做，从1点的情况开始，列举所有的情况，观察其规律。

结果第一次做的时候N=4的情况我数错了，数成了9，而且N=5的情况是16，我以为对N>=3，符合要求的路径会是N^2，之后用数学归纳法进行证明，死都证明不出来。

当问题遇到瓶颈的时候，按照做数模的习惯，我会先去搜索资料，结果发现这道题是湖南某大学的ACM集训题。

在这种情况下面，答案被搜出来了，不过我草草看了一眼，没有看懂，还是依照自己的想法去做。不过既然知道了是ACM题，所以就请教了一下我们班的ACM高手。他简单地分析了一下，说第一问的答案是2^(N-1),第二问的分析我没有看。

然后我重新整理一下思路，第一问的答案果然是2^(N-1)。证明如下：

称如下序列满足性质A：长为N的序列由1～N个数字组成，每个数字不重不漏，除了最后一个数字之外，每个数字后面一定要有一个与它本身相差1的数字。

引理：一个满足性质A的序列，其第一位必定是1或者N

完整的证明我不写了（因为懒）。

命题1：对于N，长度为N时，满足性质A的序列的数目是2^(N-1)。

这个命题用归纳法可以证明，N=1时当然成立，当N=n的时候，按照归纳假设有2^(n-1)个序列，然后对第一位是N+1和1的情况进行考虑，当第一位是1的时候，可以如下处理，通过双射，f：x->x-1，把2～n+1变成1～n来处理。

第一问就解决了。

到了第二问，我还是百思不得其解。最后，我还是根据我搜索到的集训题的答案来写程序。说到底，也只是理解别人的算法而已。

其中有一个命题是非常重要的：满足A性质的序列在去掉了第一个数字之后的子序列还是满足A性质的。

所以，采用递归解决。算法就不写在这里了，只说一下基本的输入输出：

输入一个列向量A，表示初始状态，如果某个位置上的数字没有确定，则用0表示；

整数s、r：我们要寻找s到s+r-1的r个数中所有符合性质A的序列的数量；

整数g：符合性质A的序列的数量。

下面是Matlab的代码：

  1 function g = NewArr(A,s,r)
  2 
  3 %%
  4 %A:表示初始状态的向量，如果某个位置不确定，用0表示；
  5 %s:我们要寻找从s..s+r-1 中r个数符合题设条件的序列数量；
  6 %r:就是上面的r；
  7 %注意：Length(A)==r 必须成立；
  8 %g:符合条件的序列的数量
  9 %%
 10 
 11 Init = A;
 12 Min = s;
 13 Num = r;
 14 
 15 Temp = A(2:Num);
 16 
 17 if r == 1
 18         g = 1;
 19         return
 20 end
 21 
 22 if Init(1) == Min
 23         g = NewArr(Temp,Min+1,Num-1);
 24         return
 25 end
 26 
 27 if Init(1) == (Min + Num -1)
 28         g = NewArr(Temp,Min,Num-1);
 29         return;
 30 end
 31 
 32 if Init(1) == 0
 33         g = NewArr(Temp,Min,Num-1) + NewArr(Temp,Min+1,Num-1);
 34         return
 35 end