基于椭圆曲线的签名验证

2024年6月5日 144次阅读

一.非对称加密

定义： 对称加密算法在加密和解密时使用的是同一个祕钥；而非对称加密算法需要两个密钥来进行加密和解密，这两个祕钥是公开密钥（public key，简称公钥）和私有密钥（private key，简称私钥）。

待验证数据：data

（data+私钥）加密=hash1
（data+公钥）加密=hash2

if(hash1==hash2)
    data是私钥拥有者发布的数据（验证成功）
else
    data被修改或私钥不正确（验证失败）

二.椭圆曲线

标准式: y2+axy+by=x3+cx2+dx+e

简化式：y2=x3+ax+b

P:x的定义域，y的值域，只能取0或正整数，如P=23，x，y=[0,22]

三.点与点的加法运算

  设P（x，y）在椭圆曲线上，则Q（x,-y）为它的逆元在密码学中，一切的运算都要进行取余，如P为（2，1），则Q为（2，-1），但需要进行取余运算（此处用P值取余，如此时P=3），也就是说，Q实际在取值范围内等同于（2，2）.

注：以下所有的运算均需要用P取余(非常重要)

  设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),P+Q=M(此处的加法不是单纯的x+x，y+y的座标相加，而是有固定规则的，规则如下：)

当P!=Q：

λ = y2-y1/x2-x1

当P==Q：

λ = 3x12+a/2y1(著名的电子数据货币bitcoin的验证签名就是用的这种方式)

x3 = λ2-x1-x2

y3 = λ(x1-x3)-y1

  设O为无穷远点，则P+O=P，同理P+(-P)=O,将P进行累加，加到np+p=O，即np与P互为逆元，则n+1称为该椭圆曲线的阶。

四.私钥和公钥的生成

私钥：随机生成的256位的字符串

公钥:利用私钥生成

  在Bitcoin中，用的是y2=x3+7这条椭圆曲线，它的P值和阶都是一个相当大的数值。它中规定了一个G（x，y）（座标在源代码中写死，均为256位数）。

公钥 = 私钥*G，也就是说，将G点累加私钥数值次过后，将得到公钥，乍看之下不可思议，累加256位数次可不是开玩笑的，但已有快速得到结果的算法出现，所以，在真实的场景，是用快速得出公钥的算法进行计算。

我们用t代表私钥，用T代表公钥

五.签名

data：明文
e = hash(data) :加密数据
每一次签名到验证都会生成一个额外的私钥和公钥，用k和K表示。
签名数据：S=k-1(e+tr) 注：r为T的横座标

六.验证过程

首先，我们知道公钥T，也就知道了公钥的横座标r，签名后的数据S。

w = S-1
u1 = ew
u2 = rw
X = u1G+u2T

if(X的横座标==r)
    验证通过
else：
    data被篡改或是签名失败(不是本人的私钥签名，也就是说私钥不正确)

七.数学证明验证有效

X = u1G+u2T
 =u1G+u2tG (因为T=tG)
 =(u1+u2t)G (提取公因式G)
 =(ew+rwt)G (因为u1 = ew u2 = rw)
 =S-1G(e+rt) (提取公因式w，而w=S^-1^)

得X = S-1G(e+rt)

已知S=k-1(e+tr)，易得k=S-1(e+tr) (两边同时乘以kS-1)

将k=S-1(e+tr)与X = S-1G(e+rt)联立可得X = kG，而kG =K，得K = kG = X。故验证有效

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