分治策略—分治法

1.基本概念：

分治策略是对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

2.问题特征：

（1）该问题规模缩小到一定的程度就容易解决；

（2）该问题可分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

（3）利用该问题分解出的子问题的解可合并为该问题的解；

（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

第二条特征是应用分治法的前提，此特征反映了递归思想的应用；能否利用分治法关键完全取决于问题是否具有第三条特征；如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

3.分治法基本步骤：

分治法在每一层递归上都有三个步骤：分解–》解决-》合并

Eg: (1)将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk

   (2) 递归解决Pi

   (3) 合并子问题

注：

递归算法基本思想：找出递归子结构（数学表达式）性质（原问题的解包含了子问题的解）、用子问题的解来递归定义原问题的解、找出递归终止条件（迭代，注意边界和次数）。

分治法基本思想：问题分解（分解成k个规模大致相同的子问题）、子问题递归求解、合并各个子问题的解。

4.改进分治算法的途径：

（1）通过代数变换减少子问题的个数

（2）利用预处理减少递归内部的计算量（eg:快速排序中加入随机化算法）

5.典型例题：

（1）二分搜索：

（2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆蓋：（见附录1）

（5）归并排序：全排列问题（见书p13）

（6）快速排序：找第K大（小）的数（见书p43）

（7）线性时间选择：

（8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

（10）汉诺塔：（见书p12）

附录：

（1）     棋盘覆蓋：

题目：在一个(2^k)*(2^k)个方格组成的棋盘上，有一个特殊方格与其他方格不同，称为特殊方格，称这样的棋盘为一个特殊棋盘。我们要求对棋盘的其余部分用L型方块填满（注：L型方块由3个单元格组成。即围棋中比较忌讳的愚形三角，方向随意），且任何两个L型方块不能重叠覆蓋。L型方块的形态如下：

题目的解法使用分治法，即子问题和整体问题具有相同的形式。我们对棋盘做一个分割，切割一次后的棋盘如图1所示，我们可以看到棋盘被切成4个一样大小的子棋盘，特殊方块必定位于四个子棋盘中的一个。假设如图1所示，特殊方格位于右上角，我们把一个L型方块（灰色填充）放到图中位置。这样对于每个子棋盘又各有一个“特殊方块”，我们对每个子棋盘继续这样分割，直到子棋盘的大小为1为止。

用到的L型方块需要（4^k-1)/3个，算法的时间是O（4^k)，是渐进最优解法。

（2）      整数划分问题：

将一个正整数n表示成一系列正整数之和，n=n[1]+n[2]+…+n[k]，其中n[1]>=n[2]>=…>=n[k]>=1,k>=1。正整数n的一个这种表示称为n的一个划分。求n的不同划分个数。

用递归算法求解：

（1）递归子结构性质：显然n的一个划分中包含了某个子问题t(<n)的一个划分。这里问题的解是划分数，关键是要研究用子问题的划分数来定义原问题的划分数。在n的所有不同划分中，将其中最大加数n[1]不大于m的划分数个记作q(n,m)，则q(n,n)为原问题的解。递归定义如下：

1）当n<1或m<1时，显然q(n,m)=0；

2）当m=1时，n只有一种划分形式，n=1+1+…+1，共n个1相加。q(n,1)=1；

3）当n=1时，显然也只有一种划分形式，q(1,m)=1；

4）当n<m时，因为n[1]不能大于n，故q(n,m)=q(n,n)；

5）当n=m时，q(n,n)为n的所有划分个数，它由n[1]<=n-1的划分和n[1]=n的划分（只有一个）组成，q(n,n)=q(n,n-1)+1；

 6）当n>m>1时，n[1]不大于m的划分，由n[1]<=m-1的划分和n[1]=m的划分组成，q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)。

（3）http://www.dataguru.cn/thread-480261-1-1.html（详细图文对应的解释，关于归并排序；快速排序；较大子数组；矩阵乘法；寻找逆序对；平面上的分治）