汉诺塔 – 问题起源

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

汉诺塔游戏

后来，这个传说就演变为汉诺塔游戏:

1.有三根杆子A,B,C。A杆上有若干碟子  

2.每次移动一块碟子,小的只能叠在大的上面  

3.把所有碟子从A杆全部移到C杆上

解决思路

A柱子有7块盘子时，可借助B将A柱子的盘子全部移至C柱子，由小到大从上往下摆放

游戏的起始状态，A柱子7块盘子，移至C柱子：

要实现游戏，需将A柱子红色盘子上面的6块借助C移至B柱子，盘子由小到大从上往下摆放，在将最大的红色盘子由A柱子移至C柱子，此时A柱子没有盘子，这个时候是游戏的一个临界状态，最大的红色盘子有序的摆放在C柱子（现在可以不管红色盘子了，因为最大的如果你把它放那不动,则可以无视它的,其他盘子可以在三个柱子上移来移去.它是最大嘛），接着需要将B柱子的6块盘子借助A移动到C柱子，即可完成汉诺塔游戏了。这个过程中，7块盘子的汉诺塔游戏可演变为2个6块盘子的汉诺塔游戏了，2个6块盘子的汉诺塔游戏了演变成4个5块盘子的汉诺塔游戏了……，递归的出口就是只有一块盘子的时候了，直接移动盘子，这就是经典递归思想了

游戏的临界状态，B柱子6块盘子，移动至C柱子

时间复杂度计算

汉诺塔问题是一个经典的“重复问题“（recurrent problem），解法也从中所知，最少移动步骤是2^n – 1。

n个盘子，ABC三个地点，将A上的n个盘子移动到C上。最少的步骤是多少？

AC[n] = AB[n-1] + AC[1] + BC[n-1]

因为AC[n] = BC[n] = AB[n] = T(n)

所以以上等式可以写成

T(n) = T(n-1) + 1 + T(n-1)=2^1*T(n-1)+1=2^2*T(n-2)+1=……=2^n-1*T(n-(n-1))+1=2^n-1*T(1))+1，从而得到T(n) = 2^n – 1

php代码

    private function hanoi_r($n,$a,$b,$c){
        if($n==1){
            $this->move($a,1,$c);
        }else{
            $this->hanoi_r($n-1,$a,$c,$b);
            $this->move($a,$n,$c);
            $this->hanoi_r($n-1,$b,$a,$c);
        }
    }
    private function move($a,$n,$c){
        echo 'move disk '.$n.' from '.$a.' to '.$c.'<br/>';
    }

    public function hanoi($n){
        $this->hanoi_r($n,'a','b','c');
    }